海南省海口市第四中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷

1 / 8 海口四中 2023-2024学年度第二学期高一数学月考试卷 命题人：许乔 审题人：邓孚宜 班级______________ 姓名___________ 分数_______________ 一、单选题（每题 5分，共 40分。） 1．已知向量a = (1，m)，b = (3， − 2)，且(a + b) ⊥ b，则 m = ( ) A．−8 B．−6 C．6 D．8 2．(sin15° + cos15°)2 =（ ） A．1 2 B．1 C．3 2 D．2 3．平面向量a，b满足a + b = (3， − 2)，a − b = (1，x)，且a ⋅ b = 0，则 x的值为（ ） A．3 2 B．2 3 C．±2 3 D．±2 2 4．如图，在△ ABC中，满足条件AD = DB ，AE = 1 3 EC ，若DE = λBA + μBC ， 则 1 λ + 1 μ =（ ） A．8 B．4 C．2 D．1 2 5．已知角α的终边经过点(m， − 5)，cosα = 12 13 ，则 tanα =（ ） A．± 12 5 B．± 5 12 C．− 5 12 D．− 12 5 6．若函数 f(x) = sin(x + φ)( − π < φ < 2π)的图象关于直线 x = π 3 对称，则φ的值的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在△ ABC中，若 AB = 4，BC = 5，AC = 6，则AB ⋅ BC =（ ） A．− 27 2 B．27 2 C．5 2 D．− 5 2 8．在△ ABC中，BC = 2，( AB |AB | + AC |AC | ) ⋅ BC = 0， AB |AB | ⋅ AC |AC | = 1 2 ，则△ ABC的周长为（ ）. A．4 B．6 C．8 D．9 二、多选题（每题 6分，共 18分） 9．已知向量a = (x，1)，b = ( − 1，2)，下列结论中正确的是（ ） A．若a ∥ b，则 x =− 1 2 B．若a ⊥ b，则 x = 2 C．当 x < 2时，a与b的夹角为锐角 D．若 x = 1，则a与b的夹角的余弦值为 10 10 10．已知函数 f(x) = 2cos(ωx + π 3 )(ω > 0)的最小正周期为π，则（ ） A．ω = 2 B．x = π 3 是 f(x)图象的一条对称轴 2 / 8 C．f(x)在区间[ − π 3 ，0]上单调递增 D．f(x)在区间[ − π3，0]上的最小值为 3 2 11．已知向量a = ( 3，1)，b = (cosθ，sinθ)(0 ≤ θ ≤ π)，c = (1，0)，则下列命题正确的是（ ） A．若a ⊥ b，则 tanθ = 3 B．存在θ，使得|a + b| = |a − b| C．向量e = ( 3 2 ， 1 2 )是与a共线的单位向量 D．a在c上的投影向量为 3 c 三、填空题（每题 5分，共 15分） 12．函数 y = sinx + cosx 的最大值是 ． 13．已知向量a →与b → 的夹角为π 3 ，|a → | = 3|b → | = 3，则|a → − 3b → | = ． 14．在△ ABC中，角 A，B，C所对的分别为 a，b，c．若角 A为锐角，b = 3，c = 4，则△ ABC的周长 的取值范围是 ． 四、解答题（共 77分） 15．（13分）已知α是第二象限角，且 2sin2α − 3sinαcosα − 2cos2α = 0. （1）求 tanα的值； （2）求 sin(π2−α)+sin(π+α) 3cos(3π2 −α)+cos(−α) 的值. 16．（15分）单位向量a，b满足(a + 2b) ⋅ (a − b) =− 2 3 . （1）求a与b夹角的余弦值： （2）若 ka + b与a + 3b的夹角为锐角，求实数 k的取值范围. 3 / 8 17．（15分）已知△ ABC中角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，满足c a cosB + b a cosC = 3cosC． （1）求 sinC的值； （2）若 a = b + 2，c = 3 2，求△ ABC的面积． 18．（17分）已知函数 f(x) = a ⋅ b，其中向量a = (m，cos2x)，b = (1 + sin2x，1)，且函数 y = f(x)的图 象经过点( π 4 ，2)． （1）求实数 m的值； （2）求函数 f(x)的最小值及此时 x的取值集合． (3)求函数 ],0[1)()(  xxfxg ， 的零点个数。