第16讲 导数中的双变量与多变量问题-2024年新高考数学二轮复习专题突破精练（新高考地区专用）

第16讲 导数中的双变量与多变量问题 【典型例题】 例1．（2024·高三·湖北荆门·阶段练习）已知函数，是大于0的常数.记曲线在点处的切线为，在轴上的截距为，． (1)当，时，求切线的方程； (2)证明：. 例2．（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）关于函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在处的切线垂直于直线，对任意两个正实数，，且，有，求证：. 例3．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论函数的极值； (2)已知，函数存在两个极值点，，证明：． 例4．（2024·山西·模拟预测）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：. 例5．（2024·高三·四川成都·阶段练习）已知函数，其中． (1)当时，求证：在上单调递减； (2)若有两个不相等的实数根． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 例6．（2024·高三·湖北咸宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围; (2)若，使得，求证：． 例7．（2024·高三·福建福州·期中）已知函数，为的导函数． (1)当时，讨论函数的单调性 (2)已知，，若存在，使得成立，求证：． 例8．（2024·高三·山西吕梁·阶段练习）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)若方程有两个不等的实数根，，且，证明：． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）已知正数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 2．（2024·广东广州·一模）已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高三·浙江宁波·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·海南海口·模拟预测）设函数，则（    ） A． B．函数有最大值 C．若，则 D．若，且，则 三、填空题 5．（2024·山西临汾·模拟预测）已知，恒成立，则 ． 四、解答题 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，． (1)若存在零点，求a的取值范围； (2)若，为的零点，且，证明：． 7．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数为实数. (1)讨论函数的极值； (2)若存在满足，求证：. 8．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)若是函数的一个极值点，求实数的值； (2)若函数有两个极值点，其中， ①求实数的取值范围； ②若不等式恒成立，求实数的取值范围. 9．（2024·高三·北京·开学考试）已知. (1)若，求在处的切线方程； (2)设，求的单调区间； (3)求证：当时，. 10．（2024·四川南充·二模）已知函数有三个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 11．（2024·高三·甘肃·开学考试）已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若有2个极值点，求证：. 12．（2024·四川·一模）已知函数． (1)若，求的最小值； (2)若有2个零点，证明：． 13．（2024·高三·湖南·开学考试）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：． 14．（2024·高三·全国·阶段练习）已知是函数的导函数． (1)求函数的单调区间； (2)设为函数的两个零点且，证明：． 15．（2024·全国·模拟预测）设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 16．（2024·高三·天津宁河·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)设是函数的两个极值点，证明：． 17．（2024·高二·湖南·期末）设，，，函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若时，函数有三个零点，，，其中，试比较与的大小关系，并说明理由． 18．（2024·高三·河北沧州·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在不相等的实数，使得，证明：． 19．（2024·高三·江西·阶段练习）已知函数. (1)当时，存在，使得，求M的最大值； (2)已知m，n是的两个零点，记为的导函数，若，且，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 导数中的双变量与多变量问题 【典型例题】 例1．（2024·高三·湖北荆门·阶段练习）已知函数，是大于0的常数.记曲线在点处的切线为，在轴上的截距为，． (1)当，时，求切线的方程； (2)证明：. 【解析】（1）因为，所以曲线在点处切线方程为． 即， 当，时， 切线的方程为． （