13.3.1等腰三角形中6类题型2023-2024学年人教版数学八年级上册

等腰三角形常考题型 在等腰三角形相关的题目中，特别需要注意分类讨论思想的运用。这期我们就介绍几种常见的题型。 一、关于角的讨论 例1：如果△ABC是等腰三角形，且∠A=80°，则顶角的大小是 。 拓展1：在例1中，当∠A=80°时，底角的大小是 。 拓展2：在例1中，当∠A=80°时，∠B= 。 拓展3：在例1中，当∠A=100°时，∠B= 。 拓展4：在例1中，当∠A=x°时，求∠B的大小。 说明：在等腰三角形中，当已知角小于90°时，它可能是顶角或底角，需要分情况讨论；当已知角是直角或钝角时，它只能是顶角。 二、关于边的讨论 例2：已知△ABC是等腰三角形，且AB=6，BC=8，则△ABC的周长等于 。 拓展1：已知△ABC是等腰三角形，且AB=4，BC=8，则△ABC的周长等于 。 拓展2：等腰三角形△ABC周长等于20，且一边长为8，则其他两个边长分别是 。 拓展3：等腰三角形△ABC周长等于20，且AB=8，则BC= 。 拓展4：等腰三角形△ABC周长等于20，且AB=4，则BC= 。 注意：此类题中，一要讨论已知边是腰或底边，二要分析所得结果是否符合三角形的三边关系。 三、关于高的讨论 例3:等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角是30°，则这个等腰三角形的顶角等于 。 拓展1：等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角是x°，则这个等腰三角形的顶角等于 。 拓展2：若等腰三角形的顶角等于x°，则一腰上的高与另一腰所成的夹角是 。 说明：三角形的高的位置与三角形的形状有关，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形的内部；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形的外部。如果已知条件中没有给出顶角的大小，要注意分类讨论。 四、关于中线的讨论 例4：若等腰三角形一腰上的中线分周长为12cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边和腰的长。 拓展：若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 说明：这类题要特别注意所得结果要符合三角形的三边关系。 五、关于中垂线的讨论 例5：在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则顶角∠A= 。 拓展：在ΔABC中，AB=AC， AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为x°，则顶角∠A= 。 注意：在等腰三角形的此类题目中，顶角是钝角的情况不要忽略。 六、关于等腰三角形存在性的讨论 例6：如图，在平面直角坐标系xoy中，已知A（0，3），B(4，0)，连接AB，在ｘ轴是否存在点Ｃ，使△ＡＢＣ是等腰三角形，如果存在，请求出点Ｃ的坐标；如果不存在，请说明理由。 拓展：如下图，已知线段ＡＢ的端点Ｂ在直线ｌ上，ＡＢ与直线ｌ的夹角是４５°，请在直线ｌ上另找一点Ｃ，使△ＡＢＣ是等腰三角形，这样的点Ｃ有（　　）个。 Ａ、１个　　Ｂ、２个　　Ｃ、３个　　Ｄ、４个 归纳：在与等腰三角形相关的题中 １、若题中没有明确给出顶角的大小或范围，一般要分类讨论顶角是钝角或锐角两种情况，有时还需考虑顶角是否是直角。 ２、若已知条件不明确，一般要考虑已知边是底边或腰两种情况。 ３.一般用“两圆一线”分析解决点的存在性问题。 参考答案： 例1：解析：分两种情况讨论，若∠A为底角，则顶角为20°；另一种情况∠A是顶角。 答案：20°或80° 拓展1：答案：50°或80° 拓展2：答案：50°或20°或80°（分三种情况讨论∠A是顶角；∠A是底角，∠B是顶角；∠A、∠B都是底角。） 拓展3：答案：50° 拓展4：答案：当0＜x＜90时，∠B为x°或（180-2x）°或（90-0.5x）°。 当90≤x＜180时，其他两个角的大小分别为（90-0.5x）°。 例2：答案：20或22 解析：若AB是腰，则周长=6+6+8=20；若BC是腰，则周长=6+8+8=22. 拓展1：答案：20 （当三边分别为4、4、8时，不符合三角形三边关系，所以只有4、8、8一种情况） 拓展2：答案：6，6或8，4 拓展3：答案：8或4或6 拓展4：答案：8 例3：解析：若顶角为锐角，如左图，可得∠A=60°；若顶角为钝角，如右图，可得∠ＢAＣ=120° 答案：60°或120° 拓展1：答案：（９０－x）°或（90+x）° 拓展2：答案：（９０－x）°或（x-90）° 例4：解析：如图，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线。 已知条件中没有指明哪一部分是12cm，哪一部分是18cm，所以需分两种情况讨论. 第一种情况：AD+AB=12 CD+BC=18 第二种情况：AD+AB=18 C