第8讲 代数运算与图形性质-2024年中考数学压轴题

第三部分代数与几何综合 第8讲代数运算与图形性质 类型展示 典例剖析 名师点晴 类型 图形的分割 典例1：我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形） 分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示.已知∠A=90°，BD= 4,CF=6,则正方形ADOF的边长是 A.2 B.2 C.5 D.4 【思雅创练】省间题中涉及线段较多，要想表达清楚这些线段之间的数量关系，可设其中一条 或多条线段为未知数，表达出其他线段，再由钱酸之间的等量吴系列出方程（组），解出未知数，完 成解題 【解参】液正方形ADOF的边长为x,由题意得BE=BD=4,CE=CF=6,所以BC=BE十 CE=10.在Rt△ABC中，AC十AB=BC,即(6+x)P+(x十4)=102，整理得x2十10x-24= 0,解得x=2或x=一12（舍去），即正方形ADOF的边长是2 【答素】B 典例2：如图，已知矩形ABCD中，AB=3,BC=8,E为BC上 一点，BF⊥AE,垂足为M。过F作FN∥AE交BC于N。 (1)求证：△AMF∽△NFB: （2若E为C的中点求品： (3)当E在什么位置时，V与C重合？ 【思雅训练】(1)根据短形的性质，易得△AMF刀△NFB.(2)先很据勾艘定理求出AE的长， 系径第△AB△AEB。光后素去AM.,ME尚表，从名本出能在在明△AEO△EBM,本 出AF、FD的长即可。(3)递用代数方法，设AF=x,证明△ABF∽△DFC,得出相关比例式，再 列出关于x的方程，解之即为AF的长，由证四边形AECF是平行四边形，得C℉一AF,从而求出 BE的长，确定点E的位置。雅点突破：季图形中，相似三角形多，选神合适的相似三角形解题是 一个难点。其硬，根据毒题的条件，解题方法的优化选掉也是另一个难点，第(3)小题运用代敲方 法解决儿何间题，并对两解进行检验。 【解答】(1)短形ABCD .AD∥BC,BC=AD=8 .∠AFM=∠FBN 又'BF⊥AE,FN∥AE ·49. 安徽中考压轴题 .∠AMF=∠BFN ,.△AFM∽△FBN （2:BE=号BC=4 在Rt△ABE中，AE=√3+4平=5 天'∠BAE+∠BEA=90,∠BAE+∠ABM=90 .∠BEA=∠ABM 天，∠ABE=∠BMA=90 ∴.△ABM∽△AEB 岩怨AM-号 EM=5-号-9 微-品：AD/C ∴.△AFM∽△EBM 剑最AF=是m型部-是 4“FD23 (3)设AF=x,则DF=8-x ,∠BFC=90°.∠AFB+∠DFC=90° M ∠ABF+∠AFB=90 ∴.∠ABF=∠DFC C(N 天.∠BAF=∠BFC=90 ∴.△ABFO△DFC 部0中管 3 整理得2-8x十9=0，解得：.=4十√7,2=4一7 天.'AD∥BCAE∥FC ,.四边形AEC℉是平行四边形 .AF=EC,.BE=4-7或4+7 即当BE的表为4一√7或4十7时，N与C重合。 【答套1)见解参(2)是 (3)见解答 行名师点晴 图形的分割主要是对三角形，四边形，也有五边形的分割，李质是变与不变的关票，解题关键 是设知数，通过方程和品数等代数方滋解题 ·50· 第三部分代数与几何综合 真题再现 实战演练9年● 原创仿真 真题再现 1.已知：△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,∠ACB=2∠B,CD是∠ACB的角平分线. (1)如图1，若∠A=∠B,则a、b、c三者之间满足的关系是 D 图1 (2)如图2，求证：c2一2=ab: D 图2 3)如图3，若∠B-2∠A求证+-日 D 图3 ·51· 安徽中考压轴题 2.若正整数a,b,c(a<bc)满足a2十？=c2,则称(a,b,c)为一组“勾股数”. 观察下列两类“勾股数”： 第一类(a是奇数)：(3,4,5)：(5,12,13)：(7,24,25)：… 第二类(a是偶数)：(6,8,10)；(8,15,17)：(10,24,26)；… (1)请再写出两组勾股数，每类各写一组： (2)分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c,并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾 股数” ·52· 第三部分代数与几何综合 原创仿真 1.周老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： 2 3 4 a 22-1 3-1 42-1 52-1 b 4 6 8 10 22+1 32+1 4+1 52+1 (1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：a= b= (2)猜想：以a,b,c为边长的三角形是否是直角三角形？证明你的猜想： (3)显然，满足这样关系的整数a,b,c我们把它叫做 数，请再写一组这样的数 (不同于表格中已出现的数组) ·53· 安徽中考压轴题 2.如图，在平面直角坐标系xOy