2.4 用向量方法研究立体几何中的度量关系课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

2.4 用向量方法研究立体 几何中的度量关系（3课时，含习题课） 湘教版选择性必修二 4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时 两条直线所成的角、直线与平面所成的角 求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一.本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题. 在必修课程中，我们学习过异面直线所成的角，直线与平面相交所成的角，以及两个平面相交所成的二面角.那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？ 1.会用向量方法求两直线所成角. 2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角. 3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小. 会用向量的方法求两直线的夹角、直线与面所成的角，培养学生数学运算能力以及直观想象. 课标要求 素养要求 探究点1 两条直线所成的角 特别地：当两条直线平行时,规定它们所成的角为0； 2.异面直线a与b所成的角 当两条直线a与b是异面直线时，在空间任取一点O, 过点O作直线a'和b'使得a'//a,b'//b,把a',b'所成的角叫作 异面直线a与b所成的角(如图 3－40(2)). cosθ=|cos<a,b>| 例1 如图3－41,在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A'B'C'D',AB =2, BC=1, AA' = 3.求AC'与A'D所成角的余弦值. 例8 如图3－41,在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A'B'C'D',AB =2, BC=1, AA' = 3.求AC'与A'D所成角的余弦值. 探究点2 直线与平面所成的角 1.直线与这个平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的投影所成的锐角就是这条直线与这个平面所成的角. sinθ=|cos<l,n>| 3.直线与这个平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的投影所成的锐角就是这条 直线与这个平面所成的角. P132练习 1.如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD－A'B'C'D',点E是A'D'的中点,求直线A'B 与直线CE夹角的余弦值. 2.如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A'B'C'D',AB=2,AD=2, AA'=1,求异面直线A'B 与C'D夹角的余弦值. B E B' O(A) z x y D C C' A' D' 第1题 B B' O(A) z x y D C C' A' D' 第2题 3.如图,在空间直角坐标系中有长方体 ABCD－A'B'C'D',AB=1,BC=2, AA'=2,求直线B'C与平面B'BDD'夹角的正弦值. 4.如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD－A'B'C'D',点E,F分别是B'C'和A'D'的中点,求直线AC与平面ABEF夹角的正弦值. B F B' O(A) z x y D C C' A' D' 第4题 E B B' O(A) z x y D C C' A' D' 第3题 课时典例精析讲义 [目标导航] 新知导学·素养启迪 新知梳理 小试身手 1.如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为　　　　.  3.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成角为　　　　.  答案:30° 探究点一 课堂探究·素养培育 异面直线所成的角 [例1] 如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为(　　) 变式训练1-1:本例中条件不变,求异面直线AB与PC所成角的余弦值. 变式训练1-2:本例中条件不变,求平面PAB的一个法向量与BC所成角 的余弦值. 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系. (2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值. 方法总结 探究点二 求直线与平面所成的角 [例2] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点. (1)求证:PB⊥DM; [例2] 如图,在四棱锥P-ABCD中,