第4章三角形复习与巩固 2023—2024学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形 三 角 形 复 习 知识点一 三角形的分类及三边关系 （1）锐角三角形（三个角都是锐角） （2）直角三角形（有一个角是直角） （3）钝角三角形（有一个角是钝角） 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 典例1、小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ 典例2、三角形的一边为5 cm，一边为7 cm，则第三边的取值范围是 随堂练习：已知△ABC为等腰三角形，①当它的两个边长分别为8 cm和3 cm时，它的周长为 ；②如果它的一边长为4cm，一边的长为6cm，则周长为 . 知识点二 三角形的三线 （1）在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线．（三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分） （2）在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线． （3）从三角形的一个顶点向它的对面所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用。 典例1、三角形的三条中线，三条角平分线，三条高_____，其中直角三角形的高线交点为直角三角形的_____，钝角三角形三条高的交点在_____. 随堂练习 ：下列说法正确的是（　　） A．三角形的三条中线交于一点 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 知识点三 全等三角形的性质 能够完全重合的两个多边形称为全等多边形．两个全等的多边形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 典例1、下列说法正确的是（    ） A．面积相等的两个图形是全等图形 B．所有正方形都是全等图形 C．全等三角形的周长相等 D．全等三角形的边相等 典例2、下图中全等的三角形是（   ） A．①和② B．②和④ C．②和③ D．①和③ 随堂练习1、 下列叙述中错误的是（　　） A. 能够完全重合的图形称为全等图形 B. 全等图形的形状和大小都相同 C. 两个周长相等的等腰三角形一定是全等图形 D. 形状和大小都相同的两个图形是全等图形 2、如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝ ． 知识点四 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角角边”或“AAS”） 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 典例1、如图，已知，，，求证：． 随堂练习：已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，且． 求证：． 知识点五 全等三角形的判定