3.1.1 椭圆及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019） 选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 双曲线 一、追根溯源 抛物线 圆 椭圆 圆锥曲线的形成 2 二、新知探究 探究一：概念探究 动手实验：准备两个图钉、一个硬纸板、一根绳子、一支铅笔. 将绳子两端用图钉按在硬纸板上，用铅笔将绳子拉紧绕圈画出图形. 画出的图形是 动点轨迹: 线段！ 不存在！ 两定点之间的距离与绳长相等： 绳长小于两定点之间的距离： 二、新知探究 试着改变两图钉间的距离，使其与绳长相等，其图形是什么？绳长小于两图钉距离呢？ 问题2：是否满足到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹就是椭圆？ 问题1：如果将两图钉固定在同一点，是什么图形？把你的实验用数学语言来表达，并思考动点满足什么几何条件其轨迹是椭圆？ 固定在一点显然得到的图形为圆，类比圆的轨迹定义，椭圆可描述为到两定点距离之和等于常数的点的轨迹. 显然不一定，由问题1的答案就知道. 二、新知探究 问题3：可否尝试给椭圆下一个准确的定义？ 根据实验，我们知道距离之和要大于两定点距离才可以画出椭圆，所以我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 二、新知探究 平面内到两个定点的距离的和等于 常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆. 定点F1、F2叫做椭圆的焦点. 两焦点之间的距离叫做焦距. F1 F2 M 椭圆的定义 常记作2a 常记作2c 二、新知探究 问题1：回顾一下，圆的方程是如何推导出来的？ 探究二：方程探究 建系 设点 列式 化简 证明 坐标法 问题2：求曲线方程的一般步骤是？ 二、新知探究 设椭圆的焦距|F1F2|=2c， 椭圆上任意一点与F1，F2的距离的和等于常数2a，其中(a>c>0). F1 F2 如何适当建立平面直角坐标系？ 二、新知探究 设点 化简 列式 建系 结合椭圆对称性，类比研究圆的方程时的建系方式建立坐标系 二、新知探究 x y O F1 F2 以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy ， 则F1， F2的坐标分别为 (－c，0)，(c，0). 设点 化简 列式 建系 二、新知探究 x y O F1 F2 设点 化简 列式 建系 椭圆方程的建立 设椭圆上任意一点 M 的坐标为(x，y) M(x，y) 二、新知探究 x y O F1 F2 设点 化简 列式 建系 椭圆方程的建立 根据椭圆定义知： 二、新知探究 x y O F1 F2 设点 化简 列式 建系 如何化简该等式？ 化简椭圆标准方程常见方法: 两次平方法 等差中项法 （和差术） 分子有理化法 平方差法 二、新知探究 二、新知探究 设点 化简 列式 建系 移项得： ， 整理得： ， 两边平方得： a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)． 两边平方得： ， 两次平方法 因为a2(a2－c2) ≠0， 所以两边同除以a2(a2－c2)得： . 二、新知探究 设点 化简 列式 建系 分子有理化得： 整理得： （1）＋（2）整理得： （3）式平方： 因为a2(a2－c2) ≠0，所以两边同除以a2(a2－c2)得： . 分子有理化法 （俄罗斯教材选用） 二、新知探究 设点 化简 列式 建系 等差中项法 （洛必达和差术） 因为a2(a2－c2) ≠0， 所以两边同除以a2(a2－c2)得： . 二、新知探究 设点 化简 列式 建系 平方差法 代入(1)整理得： (3)式平方： . 因为a2(a2－c2) ≠0， 所以两边同除以a2(a2－c2)得： . 椭圆标准方程的建立 设a2－c2＝b2，则原式可化为： M(x，y) O x y F1 F2 (－c，0) (c