2.5.1 直线和圆的位置关系 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019） 选择性必修第一册

2.5.1 直线和圆的位置关系 【新知学习 合作探究】 思考1：直线与圆有哪三种位置关系？ （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点. 思考2：根据上述定义，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 【新知学习 合作探究】 已知直线l：3x＋y－6=0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4=0判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 分析：思路1:将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长. 思路2:依据圆心到直线的距高与半径的关系，判断直线与圆的位置关系：若相交，则可利用勾股定理求得弦长. 【新知学习 合作探究】 解法1:联立直线与圆的方程，得 消去y，得x2－3x＋2=0，解得x1=2，x2=1. 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点. 把x1=2，x2=1分别代入方程①，得y1=0，y2=3. 所以，直线l与圆C的两个交点是A(2，0)，B(1，3). 因此，|AB|==. 【新知深化 合作探究】 解法2：圆C的方程x2＋y2－2y－4=0可化为x2＋(y－1)2=5，因此圆心C的坐标为(0，1)，半径为，圆心C (0，1)到直线l的距离d=. 如图，由垂径定理，得|AB|=. 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点. 【新知深化 合作探究】 判断直线与圆的位置关系方法一 直线l：Ax＋By＋C=0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2= r2的位置关系，可以联立它们的方程组解的个数，进而得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系，若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长. 【新知深化 合作探究】 判断直线与圆的位置关系方法二 根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小，判断直线与圆的位置关系.若相交，则可利用勾股定理求得弦长. 【新知深化 典例精析】 例1.过点P(2，1)作圆O：x2＋y2=1的切线l，求切线l的方程. 解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1=k(x－2)，即kx－y＋1－2k=0. 由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1，得=1，解得k=0或. 因此，所求切线l的方程为y=1，或4x－3y－5=0. 【新知深化 典例精析】 解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1=k(x－2). 因为直切线l与圆C相切，所以方程组只有一组解. 消元，得(k2＋1) x2 ＋(2k－4k2)x＋4k2－4k=0.① 因为方程①只有一个解， 所以Δ=4k2 (1－2k)2－16k(k2＋1)(k－1)=0， 解得k=0或. 因此，所求切线l的方程为y=1，或4x－3y－5=0. 【新知深化 典例精析】 例2. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、 港口的方位和距离.根据题意，建立适当的平 面直港口角坐标系，求出暗礁所在区域的 边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程， 利用方程判断直线与圆的位置关系，进轮船 而确定轮船是否有触礁危险. 【新知深化 典例精析】 解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的 直角坐标系.为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港 口所在位置的坐标为（0，3)，轮船所在位置的坐标为（4，0). 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为 x2＋y2=4. 轮船航线所在直线的方程为=1， 即3x＋4y－12=0.联立直线与圆O的方程， 得消去y，得25x2－72x＋80=0. 由Δ=(－72)2－4×25×80＜0，可知方程组无解. 所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险. 【新知深化 技能提升】 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；比较坐标法与向量法， 第二步：通过代数运算，解决代数问题：它们在解决几何问题时，有什么异同点？ 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 【归纳小结 提高认识】 判断直线与圆的位置关系方法 方法一：直线l：Ax＋By＋C=0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2= r2的位置关系，可以联立它们的方程组解的个数，进而得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系，若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公