专题三 微专题21 等差数列、等比数列 课件-2024届高三数学二轮专题复习

专题三　数　列 微专题21 等差数列、等比数列 高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合解答题的形式考查，属于中档题目. 考情分析 2 思维导图 3 内容索引 典型例题 热点突破 4 考点一　等差、等比数列的基本运算 典例1　 (1)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝ －8，则a7＝________. －2 PART ONE 典型例题 设{an}的公比为q(q≠0)， 则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q， 显然an≠0， 则a4＝q2，即a1q3＝q2， 则a1q＝1， 因为a9a10＝－8， 则a1q8·a1q9＝－8， 则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3， 则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2. ∵3a2＝3a1＋a3， ∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d， ∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d， an＝a1＋(n－1)d＝nd， 即2d2－7d＋3＝0， ∴an＝nd＝3n. ②若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. ∵{bn}为等差数列， ∴2b2＝b1＋b3， 解得a1＝d或a1＝2d， ∵d>1，∴an>0， 又S99－T99＝99， 由等差数列的性质知， 99a50－99b50＝99， 即a50－b50＝1， 解得a50＝51或a50＝－50(舍去). 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51， 解得d＝1，与d>1矛盾，无解； 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51， 跟踪训练1　(1)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝ 7S3，则{an}的公比为________. 若q＝1， 则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1， 则a1＝0，不符合题意. 所以q≠1. 当q≠1时，因为8S6＝7S3， 即8(1－q6)＝7(1－q3)， 即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)， 538 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，且q>0， 因为b5＝b＝16，则b1q4＝(b1q)4＝16，可得q＝2，b1＝1， 因为cn＝an＋bn， 所以T9＝c1＋c2＋…＋c9＝(a1＋a2＋…＋a9)＋(b1＋b2＋…＋b9) 典例2　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且S3＝S19，则S21等于 A.2 B.3 C.4 D.6 考点二　等差、等比数列的性质 √ 因为S3＝S19， 所以a1＋a2＋a3＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋…＋a19， 所以a4＋a5＋…＋a19＝8(a4＋a19)＝0， 即a4＋a19＝0， S21＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋…＋a19＋a20＋a21 ＝a1＋a2＋a3＋a20＋a21 ＝a1＋2(a4＋a19)＝a1＝2. (2)(2023·新高考全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8等于 A.120 B.85 C.－85 D.－120 √ 方法一　设等比数列{an}的公比为q，首项为a1， 若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，不符合题意， 所以q≠1. 由S4＝－5，S6＝21S2， 由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4， 方法二　设等比数列{an}的公比为q， 因为S4＝－5，S6＝21S2， 所以q≠－1，否则S4＝0， 从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列， 所以(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)， 当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6， 即为－1，－4，－16，S8＋21， 易知S8＋21＝－64，即S8＝－85； S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0， 与S4＝－5矛盾，舍去. 综上，S8＝－85. 跟踪训练2　 √ 由题意得an>0， ∵正项等比数列{an}满足a10＝1，根据等比数列的性质得a1·a19＝a2·a18＝…＝a9·a11＝1， 根据f(x)＋f(－x)＝1得 考点三　等差、等比数列的判断与证明 典例3　已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； 由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)， 由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－b