专题六解析几何　微专题42　证明性、探究性问题课件-2024届高三数学二轮专题复习

专题六　解析几何 微专题42 证明性、探究性问题 圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，证明性、探索性问题是常见的热点题型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大. 考情分析 2 思维导图 3 内容索引 典型例题 热点突破 4 典例1　(2023·新高考全国Ⅰ)在直角坐标系Oxy中，点P到x轴的距离等于点P到点 的距离，记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程； 考点一　圆锥曲线的证明性问题 PART ONE 典型例题 设P(x，y)， 易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0， 则kAB·kBC＝－1，a＋b<b＋c， 同理令kBC＝b＋c＝n>0，且mn＝－1， 设矩形周长为C，由对称性不妨设|m|≥|n|， 方法二　不妨设A，B，D在W上，且BA⊥DA， 易知直线BA，DA的斜率均存在且不为0， 得x2－kx＋ka－a2＝0， Δ＝k2－4(ka－a2)＝(k－2a)2>0，则k≠2a， 令k2＝m，则m∈(0,1]， 矩形ABCD变换为矩形A′B′C′D′， 则kA′B′＝t1＋t0，kB′C′＝t2＋t0， 由于A′B′⊥B′C′， 则(t1＋t0)(t2＋t0)＝－1. 令t2＋t0＝tan θ， 则t2＝tan θ－t0，t1＝－cot θ－t0，从而 由于t1<t0<t2， 从而－cot θ－t0<t0<tan θ－t0， 又t0≥0， 跟踪训练1　 所以双曲线C的方程为x2－y2＝a2， 因为l1与双曲线C仅有一个公共点， 所以Δ＝162－4(a2＋48)＝0，解得a2＝16， (2)设双曲线C的左顶点为A，直线l2平行于l1，且交双曲线C于M，N两点，求证：△AMN的垂心在双曲线C上. 消去y得3x2＋4mx＋m2＋16＝0， 如图所示，过A引MN的垂线交C于另一点H， 即AH⊥MN，连接MH， 所以MH⊥AN，故H为△AMN的垂心，得证. 典例2　 考点二　圆锥曲线的探究性问题 由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8， 存在.由题意可知，直线n的斜率不为0，其方程可设为x＝my＋1， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则P(4，y1)，Q(4，y2)， 可得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，Δ＝4m2＋12(m2＋4)＝16(m2＋3)>0， 跟踪训练2　(2023·日照模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，E为C上的动点，EQ垂直于动直线y＝t(t<0)，垂足为Q，当△EQF为等边三角形时，其面积为 . (1)求C的方程； ∴C的方程为x2＝4y. (2)设O为原点，过点E的直线l与C相切，且与椭圆 交于A，B两点，直线OQ与AB交于点M，试问是否存在t，使得|AM|＝|BM|？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由. 假设存在t，使得|AM|＝|BM|，则M为线段AB的中点， 综上，存在t，使得|AM|＝|BM|，此时t的值为－1. 证明性问题主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出，列出关于待定系数的方程(组)，若方程(组)有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.注意：当结论或条件不唯一时，要分类讨论. 总结提升 1 2 3 1.(2023·湖南师大附中模拟)如图，椭圆C： (a>2)，圆O：x2＋y2＝a2＋4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2. (1)过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|·|PF2|＝6，求|PM|·|PN|的值； PART TWO 热点突破 1 2 3 设P(x0，y0)，由于|PF1|＋|PF2|＝2a⇒|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2， 而|PF1|·|PF2|＝6， ＝a2＋4－(a2－2)＝6. 1 2 3 (2)过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线互相垂直. 1 2 3 设R(m，n)，则m2＋n2＝a2＋4，即n2－4＝a2－m2， 设过点R的圆O的切线斜率都存在时的方程为 y＝k(x－m)＋n(m2≠a2)，代入椭圆方程得 整理得(4＋a2k2)x2－2ka2(km－n)x＋a2(km－n)2－4a2＝0， 即(km－n)2－a2k2－4＝0⇒(m2－a2)k2－2mnk＋n2－4＝0， 1 2 3 即两条切线的斜率都存在时，有两条切线互相垂直；