专题六 微专题40 最值、范围问题 课件-2024届高三数学二轮专题复习

专题六　解析几何 微专题40 最值、范围问题 圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，范围、最值问题是常见的热点题型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大. 考情分析 2 思维导图 3 内容索引 典型例题 热点突破 4 典例1　(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝ . (1)求p； 考点一　圆锥曲线的最值问题 PART ONE 典型例题 设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 即2p2－p－6＝0，解得p＝2(负值舍去). 由(1)知y2＝4x， 所以焦点F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0， 所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0， 即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，4m2＝n2－6n＋1， 所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0， 设点F到直线MN的距离为d， 所以△MFN的面积 跟踪训练1　 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－1)， 整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－b2)＝0， 显然，随着k的增大，b在增大， 典例2　(2023·临汾模拟)已知点F1，F2是双曲线C： (a>0，b>0)的左、右焦点，P是C右支上一点，△F1F2P的周长为18，I为△F1F2P的内心，且满足 ＝2∶3∶4. (1)求双曲线C的标准方程； 考点二　圆锥曲线的范围问题 设△PF1F2内切圆半径为r， 所以 ＝|PF2|∶|F1F2|∶|PF1|＝2∶3∶4， 因为△PF1F2的周长为18， 所以|PF2|＝4，|PF1|＝8，|F1F2|＝6， 所以2a＝|PF1|－|PF2|＝4,2c＝6， 所以a2＝4，b2＝c2－a2＝9－4＝5， 由题知，直线l斜率存在且不为0，可设其方程为x＝ty＋3(t≠0)， 跟踪训练2　 由题意得，椭圆焦点坐标为(1,0)，双曲线渐近线方程为bx±ay＝0， 得t2>2k2－1≠0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ＝(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2 化简得8k2＋t2＝1，得证. (2)若直线l与C1相交于P，Q两点，求|PQ|的取值范围. 得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0， 所以Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)>0，即t2<2k2＋1， 解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两种方法：一是几何法，若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定义和图象的有关性质求解；二是代数法，先根据条件列出目标函数，然后根据函数表达式的特征选用适当的方法求出最值或值域.求解范围、最值问题的常见方法：(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式. 总结提升 1 2 3 PART TWO 热点突破 1 2 3 依题意，∠BAD＝90°，半焦距c＝2， 解得a＝1(其中a＝－2<0舍去)， 所以b2＝c2－a2＝4－1＝3， 1 2 3 (2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围. 1 2 3 显然直线MN不可能与x轴平行，故可设直线MN的方程为x＝my＋n， 消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0， 1 2 3 由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0， 即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0， 整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0， 则3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0， 化简可得n2－4n－5＝0，解得n＝5或n＝－1(舍去)， 又M，N都在双曲线的右支上，所以y1y2<0， 1 2 3 1 2 3 2.(2023·温州模拟)如图，斜率为k的直线交抛物线x2＝4y于A，B两点，已知点B的横坐标比点A的横坐标大4，直线y＝－kx＋1交线段AB于点R，交抛物线于点P，Q. (1)若点A