直线与圆锥曲线的位置关系 课件-2024届高三数学二轮复习

直线与圆锥曲线的位置关系 考情预览 明确考向 √ (2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N.当|MN|=2时,求k的值. 考法聚焦 讲练突破 热点一　弦长、面积问题 考向1　弦长问题 考向2　面积问题 (1)设直线方程时,需考虑特殊直线,如直线的斜率不存在、斜率为0等. (2)涉及直线与圆锥曲线相交时,Δ>0易漏掉. (3)|AB|=x1+x2+p是抛物线过焦点的弦的弦长公式,其他情况该公式不成立. (2)设直线l是双曲线C在点P(x0,y0)处的切线,且l分别交两条渐近线l1,l2于M,N两点,O为坐标原点,求△MON的面积. 热点二　中点弦问题 (1)处理中点弦问题常用的求解方法. (2)中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足. √ √ 热点三　直线与圆锥曲线位置关系的应用 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程; (2)消元得到关于x或y的一元二次方程; (3)利用判别式Δ,判断直线与圆锥曲线的位置关系. (2)设n=1,直线CB与直线x=4相交于点M,求证:A,D,M三点共线. (1)直线与双曲线只有一个交点,包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行两种情况. (2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)两种情况. √ √ √ 1.[椭圆中的面积问题](2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若 △F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m等于(　 　) A. B. C.- D.- 解析:将直线方程y=x+m与椭圆方程联立得消去y,可得4x2+6mx+3m2-3=0. 因为直线与椭圆相交于A,B两点,则Δ=36m2-4×4×(3m2-3)>0, 解得-2<m<2.设F1到AB的距离为d1,F2到AB的距离为d2, 易知 F1(-,0),F2(,0),则d1=,d2=. 因为△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,所以 d1=2d2, 即=2·,解得m=-或m=-3(舍去).故选C. 2.[双曲线中的面积问题](2022 ·新高考Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C:-=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率; 解:(1)将点A的坐标代入双曲线方程得-=1, 化简得a4-4a2+4=0,得a2=2,故双曲线C的方程为-y2=1. 由题易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b, P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立直线l与双曲线C的方程并整理得(2k2-1)x2+4kbx+2b2+2=0, 故x1+x2=-,x1x2=. kAP+kAQ=+=+=0, 化简得2kx1x2+(b-1-2k)(x1+x2)-4(b-1)=0, 故+(b-1-2k)(-)-4(b-1)=0, 整理得(k+1)(b+2k-1)=0, 又直线l不过点A,即b+2k-1≠0,故k=-1. (2)若tan∠PAQ=2,求△PAQ的面积. 解:(2)不妨设直线PA的倾斜角为θ(0<θ<), 由题意知∠PAQ=π-2θ,所以tan∠PAQ=-tan 2θ==2, 解得tan θ=或tan θ=-(舍去), 由得x1=, 所以|AP|=|x1-2|=, 同理得x2=,所以|AQ|=|x2-2|=. 因为tan∠PAQ=2, 所以sin∠PAQ=, 故S△PAQ=|AP||AQ|sin∠PAQ=×××=. 3.[位置关系的应用](2022 ·北京卷)已知椭圆E:+=1 (a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2. (1)求椭圆E的方程; 解:(1)依题意可知 得故椭圆E的方程为+y2=1. 解:(2)由题意可知直线BC的方程为y-1=k(x+2), 设B(x1,y1),C(x2,y2),联立直线BC和椭圆E的方程, 得 整理得(4k2+1)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0, 所以x1+x2=-,x1x2=, 由Δ>0得k<0,易知直线AB的斜率kAB=, 直线AB的方程为y=x+1, 令y=0,可得点M的横坐标xM=, 同理可得点N的横坐标xN=, 所以|MN|=|-| =|-| =|(-)| =|·| =|·| = = =||=2,得k=-4.故k的值为-4. 已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0),则|AB|= =|x1-x2|=,或|AB|=|y1-y2|= . 典例1　过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交准线于点P,交