圆锥曲线的定义、方程与性质 课件-2024届高三数学二轮复习

圆锥曲线的定义、方程与性质 考情预览 明确考向 √ √ √ √ √ √ 考法聚焦 讲练突破 热点一　圆锥曲线的定义与标准方程 (1)圆锥曲线的定义. ①椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). ②双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|). ③抛物线:|PF|=|PM|,l为抛物线的准线,点F为抛物线的焦点,l不经过点F,PM⊥l于点M. (2)求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”. 所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值. 典例1　(1)(2023·北京卷)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|等于 (　　) A.7 B.6 C.5 D.4 √ 解析:(1)因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上, 所以点M到准线x=-2的距离为|MF|,又M到直线x=-3的距离为5,即|MF|+1=5, 故|MF|=4.故选D. √ (1)方法技巧:回归定义,借助几何条件解题. 涉及圆锥曲线上的点与焦点的问题,一般都与圆锥曲线的定义有关,解题的关键一是回归定义,二是分析图形的几何关系. ①椭圆、双曲线定义的应用,主要是关联焦点三角形的周长和面积问题,注意正弦定理、余弦定理(涉及最值问题时常用到基本不等式)在解题中的应用. ②抛物线定义的应用,主要是利用定义确定动点的运动轨迹是不是抛物线的问题,涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题等,注意在解题中利用两个距离之间的相互转化. √ √ 热点二　椭圆、双曲线的性质 (1)求离心率的两种方法. ②根据条件建立关于a,b,c的齐次式,消去b后,转化为关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围. √ √ √ 热点三　抛物线的性质 抛物线的焦点弦的几个常见结论: √ √ 2 利用抛物线的几何性质解题时,要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系,灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结 论,使问题简单化且减少数学运算. √ √ √ 1.[圆锥曲线的定义](2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|等于(　 　) A.1 B.2 C.4 D.5 解析:因为·=0,所以∠F1PF2=90°, 由椭圆方程可知,c2=5-1=4,解得c=2, 所以+==42=16, 又|PF1|+|PF2|=2a=2, 两边同时平方得++2|PF1||PF2|=16+2|PF1|·|PF2|=20, 所以|PF1|·|PF2|=2.故选B. 2.[圆锥曲线的方程](2022∙全国甲卷)已知椭圆C:+=1 (a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为(　 　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 解析:依题意,得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以=(-a,-b), =(a,-b),·=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1,又C的 离心率e===,所以a=3,a2=9,b2=a2-c2=8,所以C的方程为+= 1.故选B. 3.[椭圆的性质](2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1:+y2=1(a>1), C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a等于(　 　) A. B. C. D. 解析:由e2=e1,得=3,因此=3·,而a>1,所以a=.故选A. 4.[抛物线的性质](多选题)(2022·新高考 Ⅱ 卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则(　 　) A.直线AB的斜率为2 B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180° 解析:对于A,由题意,得F(,0), 因为|AF|=|AM|,且M(p,0), 所以xA==p, 将其代入抛物线方程y2=2px, 得yA=p,所以A(p,p), 所以直线AB的斜率kAB=kAF==2,故A正确; 对于B,由选项A的分析,知直线AB的方程为y=2(x-), 代入y2=2px,得12x2-13px+3p2=0,解得x=p或x=p, 所以xB=p,所以yB=-p, 所以|OB|==p≠|OF|,故B不正确; 对于C,由抛物线的定义及选项A,B的分析, 得|AB|=xA+xB+p=p+p=p>2p, 即|AB|>4|OF|,故C正确; 对于D,易知|OA|=p,|AM|=p, |OB|=p,|BM|=p