2025届高三数学一轮复习夯实练68：解析几何减少运算量的常用技巧

一轮复习夯实练68　解析几何减少运算量的常用技巧 1.(2024·辽宁辽阳模拟)已知直线y=-x+2与椭圆C:=1(a>b>0)交于A,B两点,线段AB的中点为P(2,1),则椭圆C的离心率是(　　) A. B. C. D. 2.(2024·四川石室中学模拟)过原点的直线与双曲线=1(a>0,b>0)交于A,B两点,以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F,若△ABF的面积为4a2,则双曲线的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x 3.(2024·江西南昌模拟)已知直线l:x-y+1=0与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点,|AB|=8. (1)求p; (2)设抛物线C的焦点为F,过点F且与l垂直的直线与抛物线C交于E,G两点,求四边形AEBG的面积. 4.(2024·湖北武汉高三开学考试)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点()在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程; (2)过点N(2,0)的直线与椭圆C交于A,B两点,求△AOB的面积S△AOB的最大值. 5.已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2). (1)求过点P的弦AB所在直线的方程,使得弦AB的中点为P; (2)在(1)的前提下,如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C,D两点,证明:A,B,C,D四点共圆. 6.如图,已知焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2,点(2,-1)在椭圆C上.过坐标原点的直线交C于P,Q两点,其中点P在第一象限,PE垂直于x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G. (1)求椭圆C的标准方程; (2)证明:△PQG是直角三角形. 7.设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上一点,PF2垂直于x轴,∠PF1F2的正切值为. (1)求C的离心率e; (2)过点F2的直线l与C交于M,N两点,若△F1MN面积的最大值为3,求C的方程. 参考答案 1.A　解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式左、右分别相减,得=0,即=-由题意可得x1+x2=4,y1+y2=2,又=-,则-=-,从而,故椭圆C的离心率e= 2.D　解析设F1是双曲线的左焦点.如图,根据双曲线的对称性知OA=OB,所以点O是以AB为直径的圆的圆心.因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F,则圆的方程为x2+y2=c2,圆也过左焦点F1,所以AB与F1F相等且互相平分,所以四边形AF1BF为矩形,所以|AF|=|BF1|.设|AF|=m,|BF|=n,则|AF|-|BF|=|AF|-|AF1|=m-n=2a,所以m2+n2-2mn=4a2.因为AF⊥BF,所以m2+n2=|AB|2=4c2.因为△ABF的面积为4a2,所以mn=4a2,得mn=8a2,所以4c2-16a2=4a2,得c2=5a2,所以a2+b2=5a2,所以b2=4a2,得b=2a,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x. 3.解 (1)设A(xA,yA),B(xB,yB), 由消去y,整理得x2-2px-2p=0,易得Δ=4p2+8p>0,所以xA+xB=2p,xAxB=-2p, 则|AB|==2=8,即p2+2p-8=0,因为p>0,所以p=2. (2)由题意可得抛物线C的焦点为F(0,1),直线EG的方程为x+y-1=0. 联立消去y,整理得x2+4x-4=0,则Δ=16+16=32>0, 设E(x1,y1),G(x2,y2),则x1+x2=-4,y1+y2=2-(x1+x2)=6, 则|EG|=y1+y2+p=8. 因为AB⊥EG,所以四边形AEBG的面积是|AB|·|EG|=8×8=32. 4.解 (1)由椭圆C的离心率为,可得,可得a2=3b2. 则椭圆C:=1,将点()代入方程,可得b2=1, 故椭圆C的标准方程为+x2=1. (2)设lAB:x=ny+2且A(x1,y1),B(x2,y2), 联立方程消去x,整理得(3n2+1)y2+12ny+9=0,由Δ>0,可得n2-1>0,且y1+y2=-,y1y2=,又由原点到直线lAB的距离h=,由圆锥曲线的弦长公式,可得|AB|=|y1-y2|,所以S△AOB=|y1-y2|=|y1-y2|= 令t=n2-1>0,可得S△AOB=,当且仅当9t=,即t=时等号成立,此时n2-1=>0,所以面积取到最大值 5.(1)解 双曲线的标准方程为x2-=1,所以a2=1,b2=2.设存在过点P的弦AB,使得弦AB的中点为P.设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1,两式左、右两边分别相减,得=0,整理得=2.设直线AB的斜率是k,又x1+x2=2,y1+y2=4,所以有k=2,所以k=1.所以直线AB的方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.经检验,存