4.3.1 一元线性回归模型（课时3）学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

一元线性回归模型 学习目标 1.了解非线性回归，会将非线性相关关系转化为线性相关关系. 学习活动 目标一：了解非线性回归，会将非线性相关关系转化为线性相关关系. 任务：会用非线性回归方法，将非线性相关关系转化为线性相关关系. 设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得一些数据如下表. 第x天 1 4 9 16 25 36 49 高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13 根据表格数据，作出如下散点图： 问题：观察散点图，发现这些点集中在橙色的曲线附近，其类似我们学过的什么函数的图像？是否可以用此函数来近似描述y与x的关系？如何求此函数？ 【概念讲解】 非线性相关关系 非线性回归方程 思考：如何将下列类型的函数转化为一次函数？ 对数型函数：y=a+blogcx(c已知） 指数型函数y=aebx(a>0)； 幂型函数：y=axb. 【归纳总结】 练一练： 某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下： 表1 由表1，得到下面的散点图： 根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型y=bx2+a(b和a是待定参数)来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令t=x2，得y=bt+a，由表1可得变换后的数据见表2. 表2 (1)根据表中数据，建立y关于t的回归方程(系数精确到个位数). (2)根据(1)中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份． 参考数据： 【归纳总结】 非线性回归模型分析主要步骤： 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “非线性回归” 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元线性回归模型 学习目标 1.了解非线性回归，会将非线性相关关系转化为线性相关关系. 学习活动 目标一：了解非线性回归，会将非线性相关关系转化为线性相关关系. 任务：会用非线性回归方法，将非线性相关关系转化为线性相关关系. 设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得一些数据如下表. 第x天 1 4 9 16 25 36 49 高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13 根据表格数据，作出如下散点图： 问题：观察散点图，发现这些点集中在橙色的曲线附近，其类似我们学过的什么函数的图像？是否可以用此函数来近似描述y与x的关系？如何求此函数？ 参考答案： ①以为例： 曲线形状与函数的图像很相似.因此可以用类似 的表达式来描述y与x的关系. 令，则上式变为y=bu+a，此时y与u的关系可以看成线性相关关系. 令，构造新的成对数据，如下表所示. 求得 通过列表计算可得 因此 故y关于u的回归直线方程为，代入， 则 ②曲线形状也与函数的图像相似，因此也可以用类似 的表达式来描述y与x的关系. 令t=lnx，y=bt+a，得下表： x 1 4 9 16 25 36 49 t=lnx 0 1.39 2.20 2.77 3.22 3.58 3.90 y 0 4 7 9 11 12 13 求得b=34188，a=-0.3274，r≈0.998 所以y=3.4188lnx-0.3274. 【概念讲解】 上述y与x的关系，因为不再是线性相关关系，所以称为非线性相关关系，所得到的方程称为非线性回归方程(也简称为回归方程). 思考：如何将下列类型的函数转化为一次函数？ 对数型函数：y=a+blogcx(c已知） 指数型函数y=aebx(a>0)； 幂型函数：y=axb. 【归纳总结】 常见的非线性回归问题转化为线性回归问题的方法： (1)指数型函数y=aebx(a>0) 图像如图： 转化方法： 两边取自然对数得lny=ln（aebx），即lny=lna+bx. 令则原方程变为 （2）对数型函数：y=a+blogcx(c已知） 图像如图： 转化方法： 令原方程化为 （3）幂型函数：y=axb. 图像如图：（x>0） 转化方法： 两边取自然对数lny=lna+blnx. 令 则原方程化为. 练一练： 某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下： 表1 由表1，得到下面的散点图： 根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型y=bx2+a(b和a是待定参数)来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令t=x2，得y=bt+a，由表1可得变换后的数据见表2. 表2 (1)根据表中数据，建立y关于t的回归方程(系数精确到个位数). (2)根据(1)中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份． 参考数据： 参考答案： (1) 故回归方程为 (2)2021年对应