4.2.4 随机变量的数字特征（课时1）学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

随机变量的数字特征 学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值，掌握一些特殊分布的均值. 2.能利用随机变量的均值解决一些简单的实际问题. 学习活动 目标一：通过具体实例，理解离散型随机变量的均值，掌握一些特殊分布的均值. 任务1：类比样本均值，理解离散型随机变量的均值. 一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元. 设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？为什么? 问题： 1.如果重复这个创业项目n次，那么成功和失败的次数分别是多少？平均收益是多少？此时p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？ 2.设投资公司的收益为X，试列出随机变量X的分布列.你有什么发现？ 【概念讲解】 离散型随机变量X的均值或数学期望 例1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分ξ的数学期望. 【归纳总结】 练一练 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值. 任务2：小组讨论，推导具有线性关系的两个随机变量均值之间的关系 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. X x1 x2 ... xk ... xn P p1 p2 ... pk ... pn 设a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量. (1)列出Y的分布列，那么E(Y)如何表示？ (2)E(Y)与E(X)有什么联系？ 练一练 设ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　) A. B. C. D. 任务3：掌握二项分布的均值，了解超几何分布的均值. 例2 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X). 【归纳总结】 练一练 某运动员投篮命中率为p＝0.6. ①求投篮1次时命中次数X的均值； ②求重复5次投篮时，命中次数Y的均值． 目标二：能利用随机变量的均值解决一些简单的实际问题. 任务:完成下列例题，会用数学期望(均值)解决一些简单的实际问题. 例3 体检时，为了确定体检人员是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案： 方案甲：逐个检查每位体检人的血液； 方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束. 问题： (1)若选择方案乙中，化验次数的可能取值为多少？ (2)哪种化验方案更好？如何比较？ (3)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用. 【归纳总结】 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “随机变量的均值”“常见分布的均值”“均值的性质” 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 随机变量的数字特征 学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值，掌握一些特殊分布的均值. 2.能利用随机变量的均值解决一些简单的实际问题. 学习活动 目标一：通过具体实例，理解离散型随机变量的均值，掌握一些特殊分布的均值. 任务1：类比样本均值，理解离散型随机变量的均值. 一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元. 设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？为什么? 问题： 1.如果重复这个创业项目n次，那么成功和失败的次数分别是多少？平均收益是多少？此时p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？ 参考答案： 项目成功的概率为p，则成功次数估计为np，失败次数估计为n-np=n(1-p). 因此在这n次试验中，投资方收益(单位：万元)的n个数据可以估计为 这一组数的平均数为 因为上述平均数体现的是平均收益，所以当 5000p+(-3000)(1-p)>0， 即p>0.375时，就应该对创业项目进行资助. 2.设投资公司的收益为X，试列出随机变量X的分布列.你有什么发现？ 参考答案： 随机变量X的分布列如下 X 5000 -3000 P p 1-p 由上面的分析可知，式子5000p+(-3000)(1-p)刻画了X取值的平均水平. 【概念讲解】 一般地，如果离散型随机变量X的分