6.4.1-6.4.2 平面几何、物理中的向量方法-2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

人教A版2019必修第二册 第 六 章 平面向量及其应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 1.会用向量法解决简单的平面几何问题、与简单的力学问题及实际问题,体会向量在实际问题中的作用. 2.掌握用向量知识解决一些简单的平面几何问题的方法和步骤. 3.学会选择恰当的方法,将几何问题转化为向量问题. 4.会选择适当的方法,建立以向量为主的数学模型,把物理问题转化为数学问题. 教学目标 PART.01 情境导入 情境导入 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,两个拉力夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.把上面的问题抽象为数学模型,可以从理论上解释其原因. 思考:利用向量法可以解决物理中的哪些问题? PART.02 平面几何中的向量方法 概念讲解 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决. 下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用. 概念讲解 用向量法解决平面几何问题的两种方法 一、基底法： 1.选择两个不共线的向量作为基底。2.用基底表示相关向量。3.把几何问题转化为只含有基底向量的运算。4.把向量关系翻译成几何关系。二、坐标法： 1.建立适当的坐标系。2.用坐标表示向量 3.把几何问题转化为向量的坐标运算．4.把向量关系翻译成几何关系一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目用坐标法更简单．　　　　 例题剖析 例1.如图，是的中线，用向量方法证明： 证明：如图，因为是的中线， 所以，. 从而. 又 所以. 于是 分析：初中证明过这个结论时要加辅助线，有一定难度。如果用向量方法证明这个结论，可以取为基底，用表示，证明即可． C A B D E 归纳小结 平面几何经常涉及距离(线段长度)和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 一 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题 二 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题 三 把运算结果“翻译”成几何关系 例题剖析 例2.如图，已知平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，你能发现对角线𝐴𝐶和𝐵𝐷的长度与两条邻边𝐴𝐵和𝐴𝐷的长度之间的关系吗？ 证明：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 如图，取为基底，设，， 则，. 分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系． 例题剖析 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： ， . 上面两式相加，得. 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： . 例题剖析 练习：若点是内一点，并且满足，求证： A D C B 解：设，，， 则， 因为， 化简，得，即是 所以，故 例题剖析 练习：如图，在△中，，AB=AC=3，点在线段上，且BD=DC,求: (1)线段的长； （2）的大小。 证明：（1）如图，设，， 则 3 例题剖析 （2）设则为与的夹角 0 ° PART.03 向量在物理中的应用举例 例题剖析 例3.在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？ 证明：先来看共提旅行包的情况. 如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，， 为方便起见，我们不妨设. 另设，的夹角为，旅行包所受的重力为. 分析:不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释． 例题剖析 由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道. 这里，为定值.分析上面的式子， 我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到， 的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大； 反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，