第5章 相交线与平行线——平行线几何模型-平行线间拐角模型精讲 2023—2024学年人教版数学七年级下册

平行线与拐角模型 名称 “M”模型 “铅笔头”模型 图示 结论 ∠B+∠C=∠BOC ∠B+∠C+∠BOC=360° 名称 “锯齿”模型 “骨折”模型 图示 结论 ∠B+∠F=∠C+∠E ∠D=∠B+∠E 名称 “靴子”模型 “蛇”模型 图示 结论 ∠B=∠D+∠E ∠A+∠B-∠C=180° 注意：遇到“平行线+拐点”，作“平行线”或“延长线段”，利用“平行线性质”及“三角形外角和”可证 例题1 如图，AB//CD，点E，F分别在AB，CD上，G为平行线间一点，连接EG，FG.若∠BEG=150°，∠GFD=140°，则∠EGF=（ ） A.80° B.75° C.70° D.65° 例题2 如图，在正方形ABCD的边BC上取一点E，沿着EF，EG剪去两个直角三角形.已知∠AFE=125°，∠FEG=100°，则∠DGE的度数为（ ） A.135° B.125° C.115° D.105° 例题3 将直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若 ∠1=55°，则∠2=______. 例题4 如图，AB//CD，EG是∠AEH的平分线，FH是∠CFG的平分线，若∠G+45°=2∠H，则∠AEH的度数为______. 例题5 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD,BC上的点，将矩形沿EF折叠，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，A′B′交BC于点G，若∠FEA′=70°，则∠A′GF的度数为（ ） A.100° B.110° C.120° D.130° 例题6 如图，是常见的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成图中所示的∠1与∠2，则∠1+∠2的度数为________. 例题7 如图，AG//EF，点B，C，D在平行线内部，连接AB，BC，CD，DE，若∠A+∠B+∠D=180°，则2∠A+∠C+∠E的度数为________. 例题8 如图，直线m//n，点P在射线OM上运动（点P与点A，B，O三点都不重合），若∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β间有何数量关系？ 例题9 已知，AB//CD，CF平分∠ECD. （1）如图1，若∠DCF=25°，∠E=20°，求∠ABE的度数 （2）如图2，若∠EBF=2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数 图1 图2 例题10 （2019吉林长春）如图，直线MN//PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB=33°，过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为_____度. 答案解析 例题1 考点：“M”模型或“铅笔”模型 答案：C 例题2 考点：“铅笔”模型 答案：A 例题3 考点：“M”模型 答案：35° 例题4 考点：“M”模型 答案：30° 例题5 考点：“铅笔”模型 答案：D 例题6 考点：“M”模型 答案：90° 例题7 考点：“锯齿”模型 答案：180° 例题8 考点：“M”模型和“骨折”模型 注意：分类讨论 答案： （1）当点P在A，B两点之间运动时，∠CPD=∠α+∠β（“M”模型） （2）当点P在线段OB上时，∠CPD=∠α-∠β 证明：∵m//n ∴∠α=∠BEP ∵∠BEP=∠CPD+∠β ∴∠α=∠CPD+∠β 即∠CPD=∠α-∠β （3）当点P在射线AM上时，∠CPD=∠β-∠α 证明：∵m//n ∴∠β=∠PEA ∵∠PEA=∠CPD+∠α ∴∠β=∠CPD+∠α 即∠CPD=∠β-∠α 例题9 考点：“骨折”模型 答案： （1）∠ABE=2∠DCF-∠E=30° （2）由题意得，2∠CFB+(180°-∠CEB)=190° 即2∠CFB-∠CEB=10° ∵CF平分∠ECD ∴∠ECD=2∠DCF=2∠FCE ∵∠EBF=2∠ABF ∴∠ABE=3∠ABF ∵∠DCF=∠CFB+∠ABF （“骨折”模型） ∠DCE=∠CEB+∠ABE=∠CEB+3∠ABF ∴∠CEB+3∠ABF=2(∠CFB+∠ABF) 即∠ABF=2∠CFB-∠CEB=10° ∴∠ABE=3∠ABF=30° 图1 图2 例题10 考点：“M”模型 答案：57 证明 过点O作OE//AB ∵AB//CD ∴OE//CD ∴∠BOE=∠B ∠EOC=∠C ∴∠BOE+∠EOC=∠B+∠C 即∠BOC=∠B+∠C 学