探究专题01 平行线的拐点模型-2023-2024学年七年级数学下学期同步备课讲义（人教版）

探究专题01 平行线的拐点模型 探究一 猪蹄模型 （1）如图：，点P为、内一点，连接、；探究、、之间的数量关系。 结论（1）：+=或-（+）=0 证明：过点做//， ； 又； //； 又 +=或-（+）=0。 （2）如图：，点、为、内两点，连接、、；探究、、、之间的数量关系。 结论（2）：+-（+）=180°。 证明：过点做//， ； 又； //； 过点做//， ，//； ； 又+=+++=++180°； +-（+）=180°。 （3）如图：，点、、为、内的三个点，连接、、、；探究、、、、之间的数量关系。 结论（3）：++-（+）=180°×2。 证明：过点做//， ； 又； //； 过点做//， ，//； 过点做//， // ，； 又++=++++=++180°×2； ++=++180°×2；。 ++-（+）=180°×2。 （4）若点、、……为、内的个拐点，直接写出、、、、……、与之间的数量关系。 结论（4）：+++……+-（+）=。 探究二 铅笔头模型 （1）如图：，点P为、外一点，连接、；探究、、之间的数量关系。 结论（1）：++= 证明：过点做//， ； 又； //； 又 ++=++=。 （2）如图：，点、为、外两点，连接、、；探究、、、之间的数量关系。 结论（2）：+++=180°×3。 证明：过点做//， ； 又； //； 过点做//， ，//； ； +++=+++++=180°×3。 （3）如图：，点、、为、外的三个点，连接、、、；探究、、、、之间的数量关系。 结论（3）：++++=180°×4。 证明：过点做//， ； 又； //； 过点做//， ，//； 过点做//， // ； 又++++=++++++=180°×4； ++++=180°×4； （4）若点、、……为、外的个拐点，直接写出、、、、……、与之间的数量关系。 结论（4）：+++……+++=。 探究三 锯齿模型 （1）如图：，点P为、内一点，连接、；探究、、之间的数量关系。 结论（1）：+= 证明：过点做//， ； 又； //； 又 +=。 （2）如图：，点、为、内两点，点为、外一点，连接、、、；探究、、、、之间的数量关系。 结论（2）：+=++。 证明：过点做//， ； 又； //； 过点做//， ，//； 过点做// =，//； =。 +=+++=++=++。 （4）若点、、……为、内的个拐点，点、、……为、外的个拐点，直接写出、、、、、……、与、、、……、之间的数量关系。 结论（3）：+++……+=+++++……+。 【探究一】（1）如图1，已知直线，且和分别交于两点，点在上，则的等量关系是________．如图2，点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向，则________． （2）如图3，和的平分线交于交于点，试说明：；并探究与的数量关系． 【探究二】问题情境： (1)如图1，．求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你接着完成解答 (2)如图3，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，．试判断之间有何数量关系？（提示：过点P作），请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想之间的数量关系． 【探究三】已知：直线与直线内部有一个点，连接． (1)如图，当点在直线上，连接，若，求证：； (2)如图，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：； (3)如图，在（）的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点G，和直线相交于点，当时，若，，求的度数． 一、单选题 1．如图，，直线分别交，于点，，且满足，，则的度数为（    ） A． B． C． D．不确定 2．如图所示，，若，下列各式：①  ②  ③  ④ 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 3．如图，已知，于点F，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，． 其中，，则的最大整数值是（　 　） A．109° B．110° C． D． 5．如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 6．如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（    ） A．540° B．180°n C．180°(n-1) D．180°(n+1) 二、填空题 7．如图，，，则、、之间满足的数量关系为 ． 8．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 9．如图，已知，和分别平分和，若，则 ． 10．（1）如图一，，，，则 ． （2）如图二，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为 ． 11．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个