专题06 圆（4大易错点分析）-备战2024年中考数学考试易错题（安徽专用）

专题06 圆 易错点一：与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 2.直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有：直线与圆相交⇔d<r；直线与圆相切⇔__d=r____；直线与圆相离⇔d>r 3.切线的性质和判定： 切线的性质 （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线垂直于过切点的______； （3）经过圆心且垂直于切线的直线必过______； （4）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 切线的三种判定方法 （1）定义法：直线与圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线. （2）数量关系法：若圆心到直线的距离等于______，则这条直线是圆的切线. （3）过半径外端且________这条半径的直线是圆的切线. 4.三角形的外心、内心，切线长定理 易错提醒：不清楚判断点与圆的位置关系的方向--确定该点到圆心距离与半径的关系； 在证明直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证明方法是“连半径，证垂直”，若直线与圆的公共点未知，证明方法是“作垂直，证半径”.这两种情况可概括为一句话：“有点连半径，无点作垂直”； 例 1．（2018·安徽·中考真题）如图，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE= . 例 2．（2024·安徽合肥·一模）如图所示，是的直径，弦，垂足为M，过点C作的切线交的延长线于点D，若、，则 例 3．（2022·安徽·中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD． (1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长； (2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB． 1．（2024·安徽芜湖·一模）如图，点A是上一点，点B是外一点，且，与相切于点C，连接交于点D，若，，则弦的长为（    ） A． B． C．6 D．8 2.（2020·安徽·中考真题）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点， 求证：； 若求平分． 3.（2024·安徽合肥·一模）如图，是的直径，，是延长线上一点，在上，连接，，，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 4.（2024·安徽合肥·一模）如图，点是圆直径延长线上的一点，与圆相切于点，点是圆上的一点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 易错点二：圆的几个重要基本性质 1、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径必平分弦，并且平分弦所对的弧 推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧平分弧的直径。垂直于弧所对的弦. 2.圆周角定理及其推论 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 圆中模型“知1得4” 由图可得以下5点： ①AB=CD；②；③OM=ON；④； ⑤； 以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。 3.圆内接四边形的性质与推论： 性质：圆内接四边形对角互补； 推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角； 易错提醒：①垂径定理的原内容虽然是垂直于弦的直径平分弦，但是如果是垂直于弦的半径、垂直于弦的弦心距，依然会平分弦。 ②考察圆周角定理的文字描述类题目时，都要加上前提条件——在同圆或等圆中。不加这个条件，就有可能是错的； ③圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°； ④圆内接四边形可以是直接存在的，也可以是辅助线连结出来的. 例1.（2023·安徽·中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 例2．（2021·安徽·中考真题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； （2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：． 例3.（2024·安徽合肥·一模）如图，是的外接圆，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 例4.（2021·安徽·中考真题）如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则 ． 1.（2015·安徽·中考真题）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，