11.2反比例函数的图像与性质 课件 2023—2024学年苏科版数学八年级下册

11.2 反比例函数的图像与性质 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 反比例函数的图像 反比例函数的性质 求反比例函数的表达式 反比例函数y= (k ≠ 0)中k的几何性质 知识点 反比例函数的图像 知1－讲 1 1. 图像的画法(描点法) (1)列表 : 先取一些自变量的值，在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值，如1和－1，2和－2，3和－3等.求y值时，只需计算原点一侧的函数值，另一侧的函数值可以随之得出； 知1－讲 (2)描点 : 根据表中提供的数据，即点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点； (3)连线 : 用平滑的曲线依次把这些点连接起来并延伸，注意双曲线的两支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交 . 知1－讲 2. 图像的特点 (1)反比例函数 y= (k为常数，k ≠ 0)的图像是双曲线； (2)反比例函数图像的两支分别位于第一、三象限或第二、四象限； (3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； 知1－讲 (4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线 y=x和直线 y=－x).如图 11.2-1 所示. 知1－讲 特别提醒 1. 因为反比例函数图像的两个分支关于原点对称，所以只要画出它在一个象限内的分支，就可以对称地画出另一个分支 . 2. 画实际问题中的反比例函数的图像时，要考虑自变量取值范围的限制，一般地，实际问题的图像是反比例函数图像在第一象限内的一支或其中一部分 . 知1－练 例 1 在平面直角坐标系中画出反比例函数 y=－的图像 . 解题秘方：紧扣画图像的“一列、二描、三连”的步骤作图. 知1－练 解：列表： x … －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 … y=－ … 1 5 －5 － － － －1 … 知1－练 描点、连线得到如图 11.2-2所示的图像. 知1－练 活学巧记 点越多，越精确，平滑曲线把点过， 两个分支不能少，对称关系很奇妙 . 知2－讲 知识点 反比例函数的性质 2 反比例函数的性质主要研究它的图像的位置和函数值的增减情况，如下表所示 . 反比例函数 y= (k ≠ 0) k的符号 k>0 k<0 知2－讲 续表 图像 图像位置 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 知2－讲 特别提醒 在描述反比例函数的增减性时，必须指明“在每一个象限内”. 活学巧记 反比例函数两性质，掌握性质要记清： k正图像在一三，k负图像在二四； 图像一三函数减，图像二四函数增 . 知2－练 (1)[中考·南京] 反比例函数 y= (k为常数，k ≠ 0)的图像位于(　　) A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 例 2 解题秘方：紧扣“k的符号、双曲线的位置、函数的增减性三者相互依存、知一推二”这一规律解题． A 知2－练 解：∵ k为常数，k ≠ 0，∴ k2>0． ∴反比例函数 y = 的图像位于第一、三象限 . 知2－练 (2)[ 一模·淮安] 若函数 y= 的图像在每一个象限内，y的值随x值的增大而增大，则 m的取值范围为_______. 解：∵函数 y = 的图像在每一个象限内，y的值随x值的增大而增大，∴ m－2 < 0，解得 m < 2. m<2 知2－练 (3)[模拟·徐州] 对于反比例函数 y= ，当 x>2 时，y的取值范围是________． 解：把 x=2 代入 y= ，得 y=3. ∵ k=6 > 0，∴图像位于第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，∴当 x > 2时，0 < y < 3. 0<y<3 知2－练 注意 如图 11.2-3，当x＜2时，y＜0或y＞3． 知2－练 技巧点拨 (1)由函数的增减性可判断比例系数的符号； (2)由比例系数的符号可确定双曲线的位置、函数的增减性．实际上，在比例系数的符号、双曲线的位置、函数的增减性这三者中，它们是“相互依存、知一推二”的关系 . 知3－讲 知识点 求反比例函数的表达式 3 1. 确定反比例函数表达式的方法是待定系数法，由于在反比例函数 y= (k ≠ 0)中只有一个待定系数，因此只需要一对 x，y的对应值或图像上一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而写出表达式 . 知3－讲 2. 用待定系数法求反比例函数的表达式的一般步骤 知3－讲 特别解读 (1)用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应值，解一元一次方程； (2)当题目中已经明确表示“y是x的反比例函数”或“y与 x成反比例关系”时，可直接设函数的表达式为 y= (k 为常