专题7.3 复数的三角形式（3知识点+8考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题7.3 *复数的三角形式 知识点一 复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 知识点二 复数三角形式的乘、除运算 1.公式：若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)= r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] (2) ＝ ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 2.文字：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 3.拓广： (1)有限个复数相乘，结论亦成立． 即z1·z2…zn＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)…rn(cos θn＋isin θn)＝r1·r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]． (2)当z1＝z2＝…＝zn＝z时，即r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍． 知识点三 复数乘法的几何意义 相等 两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 考点01 复数的辐角问题 【典例1】（2024高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2001·广东·高考真题）已知复数，则是（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 1.提醒： (1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． (2)复数0的辐角是任意的． (3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π. (4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （5）一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值. 2.复数的三角形式z＝r（cos θ＋isin θ）必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角 3.求辐角主值方法：（1）确定tanθ;（2）确定点（a,b）所在象限；（3）求辐角主值. 考点02 复数的代数形式化三角形式 【典例3】（2024高一下·全国·专题练习）把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)； (2). 【典例4】（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的代数形式化为三角形式： (1)； (2). 【规律方法】 复数的代数形式化为三角形式的步骤 （1）先求复数的模. （2）决定辐角所在的象限. （3）根据象限求出辐角. （4）求出复数的三角形式. 考点03 复数的三角形式化代数形式 【典例5】（2024高一下·全国·专题练习）复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 【典例6】（2024高一下·全国·专题练习）把下列复数表示成代数形式． (1)； (2)． 考点04 复数三角形式的乘法与乘方 【典例7】（2024高一下·全国·专题练习）计算的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【典例8】（2024高一下·全国·专题练习）已知，，求的代数形式． 【总结提升】 1.复数的三角形式z＝r（cos θ＋isin θ）必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能进一步应用法则计算. 2.运算法则： （1）乘法法则：模相乘，辐角相加． （2）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍． 考点05 复数三角形式的除法 【典例9】（2024高一下·全国·专题练习） (用代数形式表示)． 【典例10】（2024高一下·全国·专题练习）计算： (1)； (2). 【总结