浙江省宁波市鄞州区中河街道宋诏桥初级中学2023-2024学年九年级上学期数学竞赛试卷（12月份）

2023-2024学年浙江省宁波市鄞州区宋诏桥中学九年级（上）竞赛数学试卷（12月份） 一、填空题：本题共16小题，共76分。 1.甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的小球，已知甲箱内的红球占甲箱内小球总数的，乙箱内没有红球，丙箱内的红球占丙箱内小球总数的，小荣将乙、丙两箱内的球全部倒入甲箱后，要从甲箱内取出一球，若甲箱内每个球被取出的机会相等，则小荣取出的球是红球的概率为______. 2.如图，矩形ABCD中，，，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差为______. 3.如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点过点A作，垂足为点M，交边CD于点若，，则线段AN的长为______. 4.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______. 5.如图，的弦，直径于M，OM：：2，E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交AB的延长线于点F连结DE，则的值为______. 6.二次函数为实数，且，对于满足的任意一个x的值，都有，则m的最大值为______. 7.如图，已知在矩形ABCD中，，，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为，当点P运动时，点也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段扫过的区域的面积是______. 8.已知抛物线为常数，经过点，，其对称轴在y轴左侧.有下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③其中，正确结论的序号为______. 9.已知点，，点M在抛物线上运动，则的最小值为__________. 10.设的重心为G，且，，则______. 11.如图，矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且BE：：1，动点P从点C出发，沿CD运动到点D停止，过点E作交矩形ABCD的边于F，若线段EF的中点为M，则点P从C运动到D的过程中，点M运动的路线长为______. 12.我国是最早了解勾股定理的国家之一.如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，即可证明勾股定理.连接CG交AB于点M，连接CE，CH，若，则的值为______. 13.半圆O的直径，两弦AB、CD相交于点E，弦，且，则______. 14.如图，在中，，，P为AC边上的一个动点不与A、C重合，连接BP，则的最小值是______. 15.如果一个三角形一边上的高与该边相等，我们称这个三角形为“等边高三角形”，这条边就叫做“高边”.若等边高为锐角三角形内接于，BC是高边，交BC于E点，交于D点，，，则的直径为______. 16.如图，在中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C作CE的垂线交BA的延长线于点连结BC交AD于点N，若的半径为5，，则的周长为______. 二、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题12分 如图，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，，已知菱形GECF绕点C旋转的角度为 如图①，当点G在对角线AC上时，______； 如图②，当菱形GECF按顺时针方向旋转的角度为，线段AG与BE之间的数量关系为______，并证明你的结论； 如图③，在菱形GECF旋转的过程中，当点A，G，F在同一条直线上时，连接CG并延长，交AD于点H，若，，求AH的长． 18.本小题12分 如图1，在中，，P是BC上一点不与点B，C重合，过点P作于点D，连接CD并延长交三角形ABC的外接圆于点E，连接EA，EB， 若，求证： 如图2，， ①若，求AP的长. ②求的最大值. 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：设每个箱子中原来有球x个， 甲箱内的红球占甲箱内球数的，乙箱内没有红球，丙箱内的红球占丙箱内球数的 甲箱内的红球有，乙箱内红球为0，丙箱内的红球有个， 三个箱子中共有红球个， 取出的球是红球的概率为：， 故答案为： 首先设每个箱子中有球x个，然后表示出三个箱子中红球的个数，然后求得其和，最后利用概率公式求解即可． 本题考查了概率公式，解题的关键是表示出箱子中球的总数，然后表示出每个箱子中红球的个数，难度不大． 2.【答案】  【解析】解：在矩形ABCD中，，，F是AB中点， ， ， ， 故答案为： 根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得的值． 本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数