函数与导数的综合应用 课件-2024届高三数学二轮复习

函数与导数的综合应用 考情预览 明确考向 (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)+sin x<0,求a的取值范围. 2.[不等式的证明](2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=a(ex+a)-x. (1)讨论f(x)的单调性; (1)解:因为f(x)=a(ex+a)-x,定义域为R,所以f′(x)=aex-1, 当a≤0时,由于ex>0,则aex≤0,故f′(x)=aex-1<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减.当a>0时,令f′(x)=aex-1=0,解得x=-ln a. 当x<-ln a时,f′(x)<0,则f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减; 当x>-ln a时,f′(x)>0,则f(x)在(-ln a,+∞)上单调递增. 综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在 (-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增. (1)当a=0时,求f(x)的最大值; (2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围. 考法聚焦 讲练突破 热点一　利用导数研究函数的零点 判断函数在某区间[a,b]或(a,b)内的零点的个数时,主要思路:一是由f(a)·f(b)<0及函数零点存在定理,说明在此区间上至少有一个零点;二是求导,判断函数在区间(a,b)上的单调性,若函数在该区间上单调递增或递减,则说明至多只有一个零点;若函数在区间[a,b]或(a,b)上不单调,则要求其最大值或最小值,借用图象法等判断零点个数. 典例1　(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2). (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; 解:(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2, 则f′(x)=ex-1. 当x<0时,f′(x)<0; 当x>0时,f′(x)>0. 所以f(x)在(-∞,0)上单调递减, 在(0,+∞)上单调递增. (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 解:(2)f′(x)=ex-a.当a≤0时,f′(x)>0, 所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增, 故f(x)至多存在1个零点,不合题意. 当a>0时,由f′(x)=0可得x=ln a. 当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0; 当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0. 所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增. 故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a). 利用函数零点情况求参数取值范围的方法 (1)分离参数(a=g(x))后,将问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离,次选分类)求解. (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解. (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解. (1)当a=2时,求f(x)的单调区间; (2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围. 热点二　利用导数证明不等式 单变量不等式的证明方法 (1)移项法:将证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)-g(x)>0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x). (2)最值法:欲证f(x)<g(x),有时可以证明f(x)max<g(x)min. (1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围. (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,证明:x1x2<1. 证明双变量不等式的三种常见方法 (1)消元法:即借助题设条件,建立x1与x2的等量关系,如x2=g(x1),从而将f(x1,x2)>A的双变量不等式化成h(x1)>A的单变量不等式. (3)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数. 热点训练2　 (2023·四川凉山三模)已知函数f(x)= aln x+x2-1. (1)讨论函数f(x)的单调性. (2)当a=2,若两个不相等的正数m,n,满足f(m)+f(n)=0,证明:m+n>2. 热点三　利用导数解决不等式恒成立、存在性问题 常见的双变量不等式恒成立问题的类型 (1)对于任意的x1∈[a,b],总存在x2∈[m,n],使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)max. (2)对于任意的x1∈[a,b],总存在x2∈[m,n],使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min. (3)若存在x1∈[a,b],对任意的x2∈[m,n],使得f(x1)≤ g(x2)⇔f(x1)min≤g(x2)min. (4)若存在x1∈[a,b],对任