导数与函数的单调性、极值、最值 课件-2024届高三数学二轮复习

导数与函数的单调性、极值、最值 考情预览 明确考向 1.[函数的极值](2021·全国乙卷)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则(　 　) A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2 √ 解析:令f(x)=0,解得x=a或x=b,即x=a及x=b是f(x)的 两个零点.当a>0时,由三次函数的性质可知,要使x=a是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象 如图①所示,则0<a<b; 当a<0时,由三次函数的性质可知,要使x=a是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象如图②所示,则b<a<0.综上,ab>a2. 故选D. 2.[函数的单调性](2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)= aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为(　 　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 √ √ 1 1 5.[函数的最值](2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为　　　　.  考法聚焦 讲练突破 热点一　导数的几何意义 曲线的切线问题,把握以下三点 (1)切点在曲线上. (2)切点在切线上. (3)导数即斜率. 解决切线问题的关键是确定切点坐标. 典例1　(1)(2023·河南郑州统考二模)已知曲线y= xln x+ae-x在点x=1处的切线方程为2x-y+b=0,则b等于 (　　) A.-1 B.-2 C.-3 D.0 √ (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　 　　　　. (-∞,-4)∪(0,+∞) 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为 切点. 热点训练1　 (1)(2023·河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=ln x-e1-x,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为(　　) A.y-e2+1=0 B.y+1=0 C.(e2-1)x-y+e2-2=0 D.2x+y+3=0 √ (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln |x|过坐标原点的两条 切线的方程为　　　　　　,　　　　.  热点二　利用导数研究函数的单调性 单调性的应用 (1)函数f(x)在区间D上单调递增(或递减),可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立. (2)函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间,可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解. 讨论含参数可导函数的单调性常见的四个方面 (1)二次项系数的讨论. (2)根的存在性讨论,“Δ”的讨论. (3)根在不在定义域内的讨论. (4)根大小的讨论. 提醒:若可导函数f(x)在区间D上单调递增,则有f′(x)≥ 0在区间D上恒成立,但反过来不一定成立. 热点训练2　 (1)(2023·黑龙江齐齐哈尔二模)已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中可能是y=f(x)图象的是(　　) √ 解析:(1)由y=xf′(x)的图象知,当x∈(-∞,-1)时, xf′(x)<0,故f′(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(-1,0)时,xf′(x)>0,故f′(x)<0,当x∈[0,1), xf′(x)≤0,故f′(x)≤0,且等号仅有可能在x=0处取得,所以x∈(-1,1)时,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时, xf′(x)>0,故f′(x)>0,f(x)单调递增,结合选项只有C符合.故选C. (2)(2023·山东济宁一模)若函数f(x)=loga(ax-x3)(a>0且a≠1)在区间(0,1)内单调递增,则a的取值范围是 (　　) √ 热点三　利用导数研究函数的极值和最值 √ (0,4] (1)求函数的极值或最值时,不能忽略函数的定义域. (2)f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点,所以判断f(x)的极值点时,除了找f′(x)=0的实数根x0外,还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性. (3)函数的极小值不一定比极大值小. (4)求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较大小才能下结论. (5)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值,还需研究单调性,结合单调性和极值情况,画出函数图象,借助图象得到函数的最值. 热点训练3　 (1)(2023·四川成都一模)若函数f(x)= x(x+a)2在x=1处有极大值,则实数a的值为(　　) A.1 B.-1或-3 C.-1 D.-3 √ 当a=-3时,f