18.2.2菱形 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

人教版.初中数学.八年级下册.第十八章 18.2.2菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言： 还有其它方法吗？ 探究猜想 根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法： ∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 探究猜想 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？ A B C O D 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线 ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 证明猜想 对角线互相垂直的平行四边形是菱形是菱形 AC⊥BD 几何语言描述： ∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结 练一练 在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ） A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD B 例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3. 求证：四边形ABCD是菱形. A B C D O 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∵ OA=4,OB=3,AB=5， 证明： 即AC⊥BD， ∴ AB2=OA2+OB2， ∴△AOB是直角三角形， 典例精析 ∴四边形ABCD是菱形. 例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形． 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AE∥FC，AO = OC ∴∠1=∠2. ∵∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF， ∴EO =FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. ∵EF⊥AC ∴ 四边形AFCE是菱形. 如图,先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交点为C,连接BC,CD.得到的四边形ABCD是菱形吗?请说明理由. 探究猜想 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 证明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. A B C D 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. 求证：四条边相等的四边形是菱形. 证明猜想 四条边都相等的四边形是菱形的四边形是菱形 AB=BC=CD=AD 几何语言描述： ∵AB=BC=CD=AD ∴四边形 ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结 四边形ABCD A B C D 下列命题中正确的是 （ ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形 C 练一练 例3 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形. 证明： ∵ AD平分∠CAB ∴∠1= ∠2, ∵AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED 同理△ACF≌△AEF ∴CD=ED, CF=EF. ∵EF=ED, ∴CD=ED=CF=EF, ∴四边形CDEF是菱形. H G F E D C B A 证明：连接AC、BD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. ∵点E、F、G、H为各边中点， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形. 例5 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形. C A B