8.6.1 直线与直线垂直 学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.1 直线与直线垂直 引入 与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用．类比平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质． 在初中我们已经研究了平行直线和相交直线. 本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系. 问题1 空间两条直线有哪些位置关系？ 共面直线{ 异面直线 问题2 如图, 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗? 如果不同，如何表示这种差异呢? 我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度 图中的角θ即为直线a与直线b的夹角． 探究新知 .1. 异面直线所成角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 空间直线所成角→平面直线所成角（空间问题→平面问题） 问题3 O点选取的位置会影响直线a与b所成的角吗？ 注①异面直线a,b所成角，只与a,b的相互位置有关，而与点O位置无关. ②一般常把点O取在两异面直线中的a或b上. 问题4 异面直线所成角θ的取值范围是什么？ 2. 异面直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 问题5 空间两条直线垂直，它们一定相交吗？ 概念辨析： 1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. （1）如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线 . （ ） （2）.如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直. （ ）（3）垂直于同一条直线的两条直线平行. （ ） 练习：下列说法正确的有（ ） A．异面直线a与b所成角可以是0°. B．若a⊥c，b⊥c，则a ∥b. C．若a ∥b，则a，b与c所成的角相等. D．若a，b与c所成的角相等，则a ∥b. E．若a ∥b，a⊥c，则b⊥c.例题讲解 例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (1) 哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ (2)求直线BA′与CC′所成角的大小. (3)求直线BA′与AC所成角的大小. (4)若M为A′C′中点，N为B′C′中点，求异面直线AM与CN所成角的余弦值. 例2 空间四边形ABCD，已知AD＝2，BC＝4，E、F分别是边AB和CD的中点，且EF＝ ， 求异面直线AD和BC所成角的余弦值． 练习: 空间四边形ABCD，已知AD＝BC＝2，E、F分别是边AB和CD的中点，且EF＝ ， 求异面直线AD和BC所成的角． 2. 求异面直线所成的角的一般步骤 例3 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值. 巩固练习 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，EF与AB所成角的大小. 课堂小结 1)平面内两直线的夹角. (2)异面直线所成的角. (3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直. 学科网（北京）股份有限公司 $$