2023年中考数学压轴题 专题1 二次函数与等腰三角形问题

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题1 二次函数与等腰三角形问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。 在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类. 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类． 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？ 如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法． ①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么． 图1 图2 图3 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来． ， 然后根据分类：AB=AC，BA=BC，CA=CB列方程进行计算. 【例1】（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：∠BOF＝∠BDF； （3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长． 【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，即可得解； （2）根据正方形的性质得出∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，再由BF＝BF，得出△BOF≌△BDF，最后利用全等三角形的性质得出结论； （3）分两种情况讨论解答，当M在线段BD的延长线上时，先求出∠M，再利用解直角三角形得出结果，当M在线段BD上时，得出∠BOM＝30°，类比①解答即可． 【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c， 把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入 得：，解得， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）证明：∵正方形OBDC， ∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB， ∵BF＝BF， ∴△BOF≌△BDF， ∴∠BOF＝∠BDF； （3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E， ∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2， ∴E（2，3）， ①如图， 当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角， ∴∠FDM为钝角， ∵△MDF为等腰三角形， ∴DF＝DM， ∴∠M＝∠DFM， ∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M， ∵BM∥OC， ∴∠M＝∠MOC， 由（2）得∠BOF＝∠BDF， ∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°， ∴∠M＝30°， 在Rt△BOM中， BM＝， ∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2； ②如图， 当M在线段BD上时，∠DMF为钝角， ∵△MDF为等腰三角形， ∴MF＝DM， ∴∠BDF＝∠MFD， ∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF， 由（2）得∠BOF＝∠BDF， ∴∠BMO＝2∠BOM， ∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°， ∴∠BOM＝30°， 在Rt△BOM中， BM＝， ∴ME＝BE﹣BM＝2﹣， 综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣． 【例2】（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标； （2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小； （3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．