2024年九年级中考数学复习--半角模型

半角模型 前言：如果说手拉手侧重在旋转本身，三垂直侧重在模型构造，半角模型则更多地体现在题型变化. 半角模型一般条件如下：(1) 角含半角；(2) 邻边相等；(3)对角互补. 其中邻边相等与对角互补，以正方形为背景即可，至于角含半角，是明面上的半角模型，可替换为其他条件，模型条件的等价条件，亦是模型的重点. 1 模型认识 如图,在四边形ABCD中,∠BAD+∠BCD=180°,AB=AD,点E、F分别在BC、CD上, 且 求证: EF=BE+DF. 证明: 延长CD 至点G使得DG=BE,∵∠BAD+∠BCD=180°, ∴∠B+∠ADC=180°,又∠ADC+∠ADG=180°, ∴∠B=∠ADG,在△ABE和△ADG中, ∴∠BAE=∠DAG, 即∠GAF=∠EAF, 又AE=AD, ∴△EAF≌△GAF(SAS) ∴EF=GF=DF+DG=DF+BE,即 EF=BE+DF. 2 正方形中的半角 如图, 在正方形ABCD中, E、F分别在BC、CD上,且∠EAF=45°, 连接EF. 结论1: EF=BE+DF. 若E、F 分别在 CB、DC延长线上时,则EF=DF-BE. 总结反思 作辅助线时，时而截长， 时而补短， 截长、补短只是形式， 关键点在于已知半角的情况下， 构造相应的另一个半角，此处通过旋转即可得另一半角. 若想要将一个三角形恰好地旋转到另一位置， 需要：邻边相等，对角互补. 正方形可满足要求. 结论2: 连接AD, 与AE、AF分别交于M、N.则 3 模型进阶 结论3: 若 则点F是CD边中点. 反之亦然. 引例1:如图1,已知四边形ABCD是正方形,将△DAE,△DCF分别沿DE、DF向内折叠得到图2,此时DA与DC重合A、C都落在 G点), 若GF=4, EG=6, 则DG的长为 . 解析: 从∠EDF=45°考虑到半角模型,从4和6之间的关系考虑结果： 显然正方形边长为12, ∴DG=12. 引例2: 如图, 在△ABC中,tan∠BAC=1, AD⊥BC于点 D, 若BD=6, CD=4,则△ABC的面积是 . 解析： 面积为60. 结论4: AE平分∠BEF, AF平分∠DFE. 引例3： 如图，在直角坐标系中，以坐标原点O(0,0)、A(0, 4)、B(3, 0) 为顶点的 Rt△AOB, 其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数 的图像上，则k的值为( ) A. 36 B. 48 C. 49 D. 64 解析: 过点P分别作 PM、PN、PQ垂直于y轴、x轴、AB, 则△PMA≌△PQA, △PNB≌△PQB,∴∠APB=45°, AB=AM+BN, 又OM=ON,∴AM=2, BN=3, OM=ON=6, ∴k=36. ∴选A. 结论6: M、N、F、E四点共圆. 证明: ∵∠MEF=∠MFN, ∴M、N、F、E四点共圆. 结论7: △MAN∽△MDA, △NAM∽△NBA. 结论8: 连接AC,则△AFC∽△AMB, △AEC∽△AND.且 结论9: △AFE∽△AMN. 且. 由结论6可得∠ANM=∠AEF, ∠AMN=∠AFE. ∴△AFE∽△AMN. 由结论8可得： 真 题 演 练 1.如图,正方形ABCD的边长为2, 点 E、F 分别在边 AD、CD上,若∠EBF=45°, 则△EDF 的周长等于 . 2.如图,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点 F, 连接EF, 过点A作AH⊥EF, 垂足为 H, 将△ADF 绕点 A顺时针旋转90°得到△ABG, 若BE=2, DF=3, 则AH的长为 . 3.)如图,正方形ABCD中, AB=6, G是BC的中点. 将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交 DC于点E, 则DE的长是( ) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 4.如图,在正方形ABCD中, E是BC边上的一点, BE=4, EC=8,将正方形边AB 沿AE折叠到AF,延长EF交DC于 G,连接AG、FC, 现在有如下4个结论:①∠EAG=45°; ②FG=FC; ③FC∥AG;④SaGFc=14.其中正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.如图,已知正方形ABCD的边长为a, E为 CD边上一点(不与端点重合) ，将△ADE 沿AE对折至△AFE, 延长EF交 边BC于点 G, 连接AG, CF. 给出下列判断: