专题07 正方形中的常用模型专项探究-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略(浙教版）

专题07 正方形中的常用模型专项探究 模型一 正方形的“十字架”模型 【知识点睛】 A B C D H G E F 如图，正方形ABCD中，E、F在其左右两对边上，G、H在其上下两对边上. 若有EF⊥GH，则必有EF=GH. 证明方法：构造全等； 逆向应用：见“十字架”想直角三角形全等 【典题练习】 1．（2023•余杭区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（　　） A．2 B． C． D． 2．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（　　） A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45° 3．（2023•鄞州区模拟）如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，BF⊥CE于点G，若已知下列三角形面积，则可求阴影部分面积和的是（　　） A．S△BAF B．S△BCF C．S△BCG D．S△FCG 4．（2023•双峰县三模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB的中点，连接AE，DF交于点O，将△ABE沿AE翻折，得到△AGE，延长EG交AD的延长线于点H，连接CG．有以下结论： ①AE⊥DF； ②AH＝EH； ③CG∥AE； ④S四边形BEOF：S△AOF＝4． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023秋•惠山区期末）如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点． （1）若AE＝1，则EF的长＝； （2）在整个运动过程中，OP长的最小值为 ． 6．（2023•越秀区校级自主招生）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为 　 　． 7．（2023•拱墅区二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC上的两点，且BE＝CF，连结AF、DE交于点G． （1）试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并说明理由． （2）若AB＝2，点E是AB的中点． ①求线段AG的长； ②连结BG，求证：BG平分∠EGF． 8．（2023春•淮安期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？ （1）直接判断：AE　 　BF（填“＝”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处． ①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由； ②若AB＝6，点P在BD上，BD＝3BP，直接写出PH′+AN的最小值为 　 ． 模型二 K型全等模型（即：正方形中的“三垂定理”模型） 【知识点睛】 如图，已知正方形ABCD，过点B、D两点分别向过点C的直线作垂线，垂足分别为E、F，则有△BCE≌△CDF 【典题练习】 1．（2023秋•建邺区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为 　 　． 2．（2024•渝中区校级开学）如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是10和18，则△CDE的面积为 　 ． 3．（2023秋•白银期末）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3，…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，…，则正方形A2024B2021C2024D2024的边长是 　 ． 4．（2023春•句容市期末）如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为　 　． 5．（2022•大庆三模）如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG