5.3.2　函数的极值与最大（小）值（3课时）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值与最大（小）值（1） 年 级：高 二 学 科：高中数学（人教版） 1.还记得高台跳水的例子吗？ h t o (1)当t=a时运动员距水面高度最大，h(t)在此点的导数是多少呢？ (2)当t<a时h(t)的单调性是怎样的？导数的符号有什么变化规律？ (3)当t>a时h(t)的单调性是怎样的？导数的符号有什么变化规律？ 在t=a附近，f(x)先增后减，h, (x)先正后负， h’(x)连续变化，于是有h,(a)=0，f(a)最大. 对于一般函数是否也有同样的性质吗？ 新课引入 2.对于一般的函数y=f(x)： o a c b x y d e 新课引入 知识梳理 函数极值的概念 极值点与极值的概念 1.极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧_________，右侧__________，则把a叫做函数y＝f(x)的__________，f(a)叫做函数y＝f(x)的________. f′(x)＜0 f′(x)＞0 极小值点 极小值 o a c b x y d e 知识梳理 函数极值的概念 2.极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧_________，右侧_________，则把b叫做函数y＝f(x)的_________，f(b)叫做函数y＝f(x)的_______. 3.极大值点、极小值点统称为_______，极大值和极小值统称为_____. f′(x)＞0 f′(x)＜0 极大值点 极大值 极值点 极值 o a c b x y d e 知识梳理 函数极值的概念 注意点： (1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点. 　　函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增； ②函数y＝f(x)在区间 内单调递减； ③函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增； ④当x＝ 时，函数y＝f(x)有极大值； ⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值. 则上述判断中正确的序号是______. 例1 ③⑤ 函数极值的概念 跟踪训练1 　　　已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 函数极值的概念 解: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) 因此,当x=-2时有极大值 例2. 当x=2时有极小值, + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 求函数的极值 跟踪训练2. 求函数的极值 解: 当x变化时, ,y的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) y’ - 0 + 0 - y ↘ 极小值-3 ↗ 极大值3 ↘ 因此,当x=1时有极大值,并且,y极大值=3; 当x=-1时有极小值,并且,y极小值=- 3. 求函数的极值 解: 求函数的极值 知识梳理 求函数的极值 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求方程f′(x)＝0的根. (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格. (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况. 解: 由极值求参数的值或范围 例3 解: ↗ ↗ ↘ 由极值求参数的值或范围 例3 跟踪训练3：已知函数f(x)＝ (x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围. 由极值求参数的值或范围 f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6. 因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点， 所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示. 解得m>3.