4.3.1　等比数列的概念（2课时）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等比数列的概念（第一课时） 册 别：选择性必修2 学 科：高中数学（人教版） 一、类比引入 观察以下问题中的各个数列： 问题1：类比等差数列的研究，你觉得可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 问题2：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？ 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0) 二、新授： 符号 语言 文字语言 一）等比数列的定义 问题3：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？ 二、新授： 二）等比中项 问题4：类比等差数列求通项公式的方法（累加法），你能根据等比数列的定义 推导它的通项公式吗? 迭代法 累乘法 二、新授： 三）等比数列的通项公式 问题5：在等差数列中，公差的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么 对于等比数列，公比满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？ 二、新授： 四）等比数列的函数特征 问题6：类比指数函数的性质,你能说说公比q>0且q≠1的等比数列的单调性吗? 二、新授： 四）等比数列的函数特征 三、典例分析 尝试归纳等比数列求通项公式的方法 三、典例分析 思考：由a4, a5, a6的关系，能否得出一般结论？ 三、典例分析 结论： 广义通项公式：an=amqn-m 三、典例分析 四、巩固练习 四、巩固练习 五、课堂小结 1. 主要知识点： 2. 等比数列的性质： 六、布置作业 完成作业练习 等比数列的概念（第二课时） 册 别：选择性必修2 学 科：高中数学（人教版） 一、复习回顾 一、复习回顾 二、典例解析 二、典例解析 归纳：一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解． 二、典例解析 思考 二、典例解析 三、典例解析 三、典例解析 三、应用巩固 三、应用巩固 四、课堂小结 ★掌握建模法求解等比数列有关的实际问题． 五、布置作业 完成作业练习 反之，若有指数型函数(为常数,且)，则有等比数列： ，其首项为，公比为. 指数函数的单调性 单调递减 单调递增 等比数列的单调性 单调递减 单调递增 等比数列的单调性 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 把代入①，得．此时，． 把代入①，得．此时，． 因此，的第5项是24或． 等比数列通项公式的求法 i）根据已知条件，建立关于的方程组， 求出后再求，这是常规方法．　 ii）充分利用各项之间的关系，直接求出后， 再求，最后求，这种方法带有一定的 技巧性，能简化运算． 【例1】若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项． 分析：等比数列由，q唯一确定，可利用条件列出关于，q的方程（组），进行求解． 解法1：由，，得 ②的两边分别除以①的两边，得．解得或． 等比数列性质: i）若，则； ii）若，则． 【例1】若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项． 解法2：因为，所以是与的等比中项，于是． 所以． 因此，的第5项是24或． 【例2】已知等比数列的公比为, 试用的第项表示. 解析：由题意,得 ① ② ②的两边分别除以①的两边，得， 所以. 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，． 【例3】数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列． 分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解． 解析：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80，，． 于是得解方程组，得或 当时，由，所以. 所以或 1. 在等比数列中，，．求和公比q． 解析：设等比数列的首项为，公比为，因为，， 由等比数列的性质可得，，又， ，，，解得：， 当时，由，所以； 2. 已知数列是等比数列． （1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？ （2）当时，，，是否成等比数列？为什么？ 当时，，，是等比数列吗？ 解析：（1）设等比数列的公比为， 则，，，所以，，成等比数列. （2），， ，所以，，成等比数列； 又，则， 所以，，是等比数列. 知识体系 等差数列 等比数列 定义（文字语言） 一般地,如果一个数列从第 2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，公差用表示． 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一