第23章 旋转—— 图形变换在解题中有哪些技巧？ 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

图形变换在解题中的技巧 平移变换 旋转变换 对称变换 图形的平移、旋转、对称变换实质是只改变图形位置的全等变换，在这个变换过程中有对应线段相等、对应角相等等一些等量关系，利用这些等量关系可以解决线段、角、面积的计算等有关问题． 类型一、平移 技巧1、利用平移求面积 如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形地内修筑同样宽的几条小路，余下部分绿化，小路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？ → 解：如图，将小路平移后得到绿化部分，宽为（20-2）米，长为（32-2）米， （20-2）x（32-2）=18x30=540（平方米） 答：绿化面积为540平方米。 技巧2、利用平移求线段长 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，连接CF. (1)试求出∠E的度数； (2)若AE＝9cm，DB＝2 cm，请求出CF的长度． 解:(1)∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=33°， ∴∠CBA=90°-33°=57°. 由平移得∠E=∠CBA=57°. (2)由平移得AD=BE=CF. ∵AE=9cm，DB=2cm， ∴AD=BE=x(9-2)=3.5cm. ∴CF=3.5cm. 技巧3、利用平移比较线段 王老师在黑板上写出了一道题，如图①，线段AB＝CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，试比较AC＋BD与AB的大小．小聪思考片刻就想出来了，他说将AB平移到CE的位置，连接BE，DE，如图②，就可以比较AC＋BD与AB的大小了，你知道他是怎样比较的吗？ 解:由平移的性质知，AB∥CE，且AB=CE，四边形ABEC是平行四边形， ∴BE=AC,∠DCE=∠AOC=60°. ∴AB=CE，AB=CD,∴CE=CD， ∴△CED 是等边三角形，∴DE=CE=AB， 根据三角形的三边关系知BE +BD>DE, ∴AC+BD>AB. 类型二、旋转 技巧4、利用旋转求角度 如图，在正方形ABCD内有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3，求∠APD的度数． 解:如图，将△PCD绕点D顺时针旋转90°至CD与AD重合，连接PQ，则△PDQ是一个等腰直角三角形 ∴QD=PD=2,QA=PC=3. 在等腰直角三角形PDQ中，PQ² = DP² + DQ² = 8. 在△PAQ中， PA² +PQ² =1 +8=9=AQ²， ∴∠APQ=90°， ∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=90°+45°=135°. 技巧5、利用旋转求线段长 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm.将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△EBD，连接DC，交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为________cm. 解∵∠ACB＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm， ∴由勾股定理可得AB＝13 cm. 由图形的旋转可得BC＝BD＝12 cm，∠CBD＝60°， ∴△BCD是等边三角形．∴CD＝BC＝BD＝12 cm， ∴△ACF和△BDF的周长之和为 AC＋CF＋AF＋BF＋BD＋DF＝AC＋AB＋CD＋BD＝5＋13＋12＋12＝42(cm)． 技巧6、利用旋转确定点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(3，2)，B(3，5)，C(1，2)． (1)在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△. (2)把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得到图中的△A，点在AB上． ①旋转角为多少度？ ②写出点的坐标． 解：（1）如图所示。 （2）①90°；②(6,2) 技巧7、利用旋转求面积 如图，在Rt△ABC中，四边形DECF是正方形． (1)请简述图①经过怎样的变换形成图②； (2)当AD＝5，BD＝6时，设△ADE，△BDF的面积分别为，，求＋. 解：(1)将题图①中的△ADE绕点D逆时针旋转 90°得题图②. (2) 设△ADE绕点D逆时针旋转90°得△GDF，则S1+ S2=.由旋转的性质知，∠ADG=90°，DG=AD= 5， ∴BDG =90°,∴ =BD·DG=x6x5=15∴S1+S2=15. 技巧8、利用旋转说明线段关系 如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF，求证：EF<BF＋CE. 证明:由题意可知BM=MC， ∴可将△BFM绕点M旋转180°得到△CNM，如图所示. .·.BF=CN,FM=MN. 连接EN，又∵ME⊥MF， ∴EN =EF.在△ENC中，EN<NC +CE， .·.EF<BF +CE. 类型三、对称 技巧9、翻折法解对称问题 如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C