全国卷四年三度出现的“端点”效应与正确使用方式 讲义-2024届高三数学二轮专题

全国卷四年三度出现的“端点”效应与正确使用方式 ★一．真题呈现. 1.（2023年甲卷T21） 已知 . （1）当时, 讨论的单调性； （2）若, 求的取值范围. 2.（2022新高考2卷）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 3.（2020全国1卷）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围. ★二．什么是端点效应，该如何使用 探究必要条件，缩小参数范围：首先利用端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；常见的几种缩小参数范围的思路： 1.必要性探路：若在上恒成立，则，均有，我们可以带一些特数值，对数取1，指数取0，三角取特殊角等，算出一个参数的范围. 2.下面的思路为端点效应 (2)若在上恒成立，且 则此法应用于区间端点的函数值为零的情况. (3)若在上恒成立，且， 则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况. 2.证明充分性，求结果：利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调； （1）如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案； （2）如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值. 3.具体应用 1.（2023年甲卷T21） 已知 . （1）当时, 讨论的单调性； （2）若, 求的取值范围. 解析： (1) 在区间 上单调递增, 在区间 上单调递减. (2) 由于，且注意到当即时，使在成立，故此时 单调递减 ∴，不成立. 另一方面： 当时, ，下证它小于等于0. 令 综上所述: . 2.（2022新高考2卷）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 由题知，因为，所以，解得，下面证明对且恒成立. 只需证明对恒成立对恒成立（令，则） ①对恒成立，设，则 ，所以，故①式成立，则的取值范围为 ★三．端点效应为什么会“失败”？ 3.（2020全国1卷）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围. 解析：令，其中，则，令，则.并不能保证，况且二阶导函数在上不单调且存在两个零点，事实当时，在上为减函数，当时，，即在上为减函数，则有时，，即在上为减函数，则有时，.事实上不等式在取等号之外，在区间中还存在其它点处取等号的情况.（见下图） 所以，本题用失败的原因就是函数在其他地方还有一个零点，所以，在这种情况下，要确保端点效应依然有效，我们就需进一步使用下面的方法来寻求必要性. ★四．“内点”现象 不是端点效应“失败”了，而是真正的“藏”的太深，你看不出来了，需要计算. 4.（2020全国1卷）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围. 解析：设的零点为.由可得，，即， ，，解得或. 令，当时，． 只需证明①式成立． ①式，令， ，所以当时，单调递减； 当单调递增；当单调递减． 从而，即，①式成立．所以当时，恒成立．综上． 小结：已知含参函数，在区间上恒成立，求参数范围.可采用下面方法进行必要性探路： (1).求出函数的零点，即由，解出（可能不只一个）； (2).求出参数的取值范围，即由或， ，或等求出参数的取值范围. ★五．更多练习 1已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围. （提示：直接端点效应与必要性探路） 2.已知函数. （1）当时，试比较与0的大小； （2）若恒成立，求的取值范围. （“内点”效应解题） 3.（2022届武汉九月调考）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. （这个你就得自己判断了） 练习参考答案： 1.解析：由题意，注意到，，，， 令. 当时，，，所以，满足题意； 当时，，所以在上单调递增，结合知，从而在上单调递增，又，所以恒成立，满足题意； 当时，，所以在上单调递增， 结合，可得在上有唯一的零点， 且当时，，所以在上单调递减， 又，所以当时，，从而不能恒成立，不合题意； 综上所述，实数a的取值范围为. 2.解析：（2）由于，则 令 且要满足上述方程组，故令 下证当时，，∵，∴，令， 要证，只需证， ①当时，，由（1）知，， ②当时，，， 易知在上单调递减，在上单调递增，∵，，，∴，，使得，∴当，时，；当时，，∴在，上单调递增，在上单调递减，而，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减.而，∴当时，， ③当时，，∴在上单调递增，∴， 综上所述，的取值范围是. 3.解析：（1）当时，，， ，切点为，斜率为，曲线在点处的切线方程：. （2）恒成立,, , 令，， 在恒成立，在单调递增，且， ，，在单调递减，在单调递增，，恒成立，实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$