2024年中考数学复习--三垂直模型中考真题练习

三垂直模型 前言：同样作为模型，但“三垂直模型”的定位和“手拉手模型”完全不同， “手拉手模型”是在讲旋转本身，而“三垂直”模型本身并不复杂，更多地是作为一种方法来解决其他问题，了解模型需了解其定位与应用，会帮助我们更准确地把握模型. 1 模型认识 △ABC是等腰直角三角形，一条直线过点 C，分别过A、B向该直线作垂线，垂足分别为D、E.则△ADC≌△CEB. 证明： 小结：等腰、直角→ 作垂直 (1) 如果没有等腰? 依然可以构造三垂直，只不过得到的是三垂直相似，而非三垂直全等. 如图, 有△ADC∽△CEB. 特别地, 若点C为BD中点, 则△ADC∽△CEB∽△ACB. (2) 如果没有直角? 直角的作用不在于是特殊角，而是它们都相等，将直角换成其他等角，即为“一线三等角”模型. 引例1:(2018·遵义)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B、D 重合), 折痕为 EF, 若 DG=2, BG=6, 则 BE 的长为 . 解析: 由题意可得: ∠FDG=∠FGE=∠GBE=60°, ∵DG=2,代入得: ∴BE的长为 . 2 模型构造 在什么条件下考虑构造三垂直? 从模型的构成来看，当图形中存在两线段相等且垂直时，可考虑构造三垂直全等. 引例2：如图，在平面直角坐标系中，A(2,0), B(0, 1), AC由AB 绕点 A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是 . 解析: 过点C作 CD⊥x轴交x轴于点D, 由题意得: △BOA≌△ADC, ∴AD=BO=1, DC=OA=2, ∴C点坐标为(3, 2), ∴直线AC解析式为y=2x-4. 引例3:如图直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC, AD=2, BC=3, 将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转90°至 ED, 连AE、CE, 则△ADE的面积是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 不能确定 解析: 已知AD=2, 过点E作EN⊥AD交AD延长线于点N, 过点C作 CM⊥DN交DN于 M点, 由题意可得△END≌△DMC, ∴EN=DM=BC-AD=1,故 ∴选 A. 观察发现 由以上两个例子不难发现， 由特殊图形， 如等腰直角三角形或正方形，可以有线段相等且垂直. 此外,还可将线段旋转90°, 甚至旋转45°, 由45°构造等腰直角三角形，继而构造三垂直模型. 引例4：如图，在坐标系中，直线AB解析式为 点M(2, 1) 是直线AB 上一点,将直线AB 绕点 M顺时针旋转45°得到直线 CD, 则 CD的解析式是 . 解析：本题考虑由45°角如何构造等腰直角三角形? 法1: 过点O作 OP⊥AB交CD于P点,分别过M、P向x轴作垂线，垂足为E、F点. 则△OEM≌△PFO, ∴PF=OE=2, OF=ME=1,∴P点坐标为(-1, 2), 结合 P、M坐标可解直线CD解析式： 法2：过点O作直线 CD的垂线，已知锐角顶点 O、M而直角顶点坐标未知，计算上需设未知数，不如法1简便. 技巧总结 在构造等腰直角三角形时，优先考虑以已知点作为直角顶点，便于计算. 类似地，如果旋转的角是已知角，亦可构造三垂直相似解决问题. 引例 5：如图，在平面直线坐标系中，直线 AB 解析式为 点 M(2, 1) 是直线AB上一点, 将直线AB 绕点M顺时针旋转α得到直线CD，且 则直线CD解 析式是 . 解析: 如图,过点O作 OC⊥AB交CD于点P, ∴△PFO∽△OEM, 且相似比 即 故P 点坐标为 又点M坐标为(2, 1), ∴直线CD解析式： 3 模型思考 三垂直是如何帮助我们解决问题的? 构造三垂直全等，一方面得到相等线段，在几何图形中作等量代换，另外在坐标系中构造三垂直全等，可实现“化斜为直”，用水平或竖直线段刻画图中的点与线，使其可度量. 引例6: 如图,已知A(0, 3)、B(4, 0), 点 C 在第一象限, 且AC=5 , BC=10,则直线 OC 的函数表达式为 解析: 由题意得AB=5, 又AC=5 , BC=10, 是直角三角形，过点C作 CH⊥x轴交x轴于 H点, 则△AOB∽△BHC,∴BH=6, CH=8, 故点 C坐标为(10, 8), ∴直线OC 函数表达式为 引例7：(婆罗摩笈多模型) 如图，分别以AB、AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE、正方形ACFG. 过点A作AH⊥BC交BC于点H, AH的反向延长线与EG交于点P.求证: P