2023—2024学年苏科版数学八年级下册期中复习专题（折叠模型）

2023-2024学年苏科版数学八年级下册 期中复习专题 （折叠模型） 题型一：三角形的折叠 【例1】如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A′＝28°， ∠B＝120°，则∠A′NC等于（ ） A．124° B．92° C．120° D．116° 【变式1】如图，在中，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，点是的中点，则的长为________． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为　 　． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴交于A、B两点，且OA、OB的长度满足，M是OA上一点，若将△ABM沿着直线BM折叠，点A恰好落在y轴上的点P处． (1) 求点A、B、P三点坐标； (2) 求直线BM的解析式； (3) 在坐标平面内是否存在一点N，使以点B、M、A、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4】在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． 知识回顾 例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决． 实践操作 如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 数学发现 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系? 证明猜想 请结合“实践操作”完成猜想的证明． 题型二：平行四边形的折叠 【例2】如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【变式1】邻边长分别为1，的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于1的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则的值_____________． 【变式2】在平行四边形中，是边的中点，将沿进行折叠点落在点处． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，点 E 是BC边上的动点，已知AB＝4， BC＝6，现将△ABE 沿 AE 折叠，点 B′是点 B 的对应点， （1）如图 1，当点 B′ 恰好落在 AD 边上时，求：CE 的值． （2）如图 2，若∠B＝60°，点 B′ 落在 DE 上时，求 B′D（保留根号）． （3）如图 2，若∠EAD＝m∠BAD，∠EDA＝（1－2m）∠CDA，当∠AED 的值与∠CDA 的度数无关时，求 m 的值并求出此时∠AED 的度数． 【变式4】【探究与应用】 我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，联结DE，则AC∥ED． （1）如图1，若AD与CE相交于点O，证明以上个结论； 小明同学提出如下解题思路，请补全： 【思路分析】 由折叠的性质得∠ACB＝∠ACE,BC=EC;由平行四边形性质得__________,AD∥BC，由上面分析可证得EC=AD_________,这样就可以得到OA=OC,则_______在由等腰三角形的性质得∠ODE＝∠OED，证∠CAD＝∠ACE=∠OED＝∠ODE，即可得出结论. （2）如图2，AD与CE相交于点O，若∠B＝90°，，BC＝2，求△AOC的面积； （3）（3）①如果∠B＝30°，AB＝3，当△AED是直角三角形时，直接写出BC的长． ②设BC的长度为x，当AC<ED时，直接写出x的取值范围。 题型三：矩形的折叠 【例3】如图，矩形中，，，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为______． 【变式1】如图，矩形纸片，，点P是边上一点，，矩形纸片沿折叠，点A落在G处，的延长线交于点H，则的长为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 【变式2】如图，在矩形中，，E为上一点，且，作交边于F，将沿折叠后点C恰好落在边上的G处，则长＝______． 【变式3】如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4． （1）请说明：BE＝DE； （2）求△BED的面积． 【变式4】折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动． 实践操作：将矩形沿对角线翻折，使点D落所在平面内，边和相交于点E 解决问题：