3.2 圆的对称性第1课时习题课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

圆的对称性 第1课时 1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.(重点) 2.(1)和圆有关的相关概念的辨析理解. (2)垂径定理及其逆定理的应用.(重点、难点) 1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是_____________________. 2.和圆相关的概念 (1)弦和直径：弦是连接圆上任意两点间的_____，直径是经过 _____的弦. (2)弧：_____任意两点间的部分叫做圆弧，简称___. (3)等圆和等弧：_____相等的圆叫等圆，在___________中， 能够完全_____的弧叫做等弧. 任意一条过圆心的直线 线段 圆心 圆上 弧 半径 同圆或等圆 重合 3.垂径定理及其推论 如图，CD为⊙O的直径，AB为弦. 【思考1】(1)当CD⊥AB，垂足为E时，将圆沿直线CD对折，点A与 点B重合吗？你会发现哪些相等的线段和相等的弧？ 提示：重合. (2)你能证明AE=BE吗？ 提示：连接OA，OB，则OA=OB. ∵CD⊥AB，∴△OAE和△OBE都是直角三角形. 又∵OE为公共边，∴两个直角三角形全等，则AE=BE. (3)当AE=BE时，将圆沿直线CD对折， 相等吗？ 提示：连接OA，OB，则OE为等腰△AOB底边上的中线， ∴CD⊥AB，∴对折后点A与点B重合， (4)上述证明是在△AOB存在即AB为非直径的弦的条件下得到的 结论，那么当AB为直径时是否成立呢？你能画出图形吗？ 提示：成立.如图所示. 【总结】垂径定理：垂直于弦的直径_______，并且_____弦所 对的弧. 平分弦 平分 【思考2】(1)AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径 CD，交AB于点E，那么CD会垂直于AB吗？还会平分弦所对的两 条弧吗？ 提示：连接OA，OB，则OA=OB，△AOB为等腰三角形. ∵直径CD平分AB，∴底边AB上的中线OE所在的直线 CD⊥AB.∵CD为直径， (2)当弦AB为直径时，作一条平分AB的直径CD，那么CD还垂直于AB吗？还平分弦所对的两条弧吗？请画图说明. 提示：不一定.如图，CD平分AB，但是CD不垂直于AB，不平分弦所对的两条弧. 【总结】垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径_____于弦, 并且_____弦所对的弧. 垂直 平分 (打“√”或“×”) (1)任意一条直径都是圆的对称轴.( ) (2)半径是一个圆中最短的弦.( ) (3)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.( ) (4)等弧一定出现在等圆或同圆中.( ) × × × √ 知识点 1 垂径定理 【例1】如图，⊙O的半径为2，弦 点C在弦AB上， 则OC的长为( ) 【思路点拨】作OD⊥AB于点D→构造两个直角三角形，应用勾 股定理和垂径定理→求出OC的长度. 【自主解答】选D.如图，作OD⊥AB于点D，则 由勾股定理，得 【总结提升】垂径定理运用中的“两注意” 1.两条辅助线：一是过圆心作弦的垂线，二是连接圆心和弦的一端(即半径)，这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理求解. 2.方程的思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常常将未知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x的方程解决问题.这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路. 知识点 2 垂径定理的应用 【例2】如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的 圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA是 多少米？ 【解题探究】1.根据题意及图示，你能用数学符号语言表述垂径定理吗(假设CE为⊙O的直径)？ 提示：∵CE为⊙O的直径，CE⊥AB， 2.如何根据垂径定理求AD的长？ 提示：在⊙O中，AB=10米，∵OD⊥AB， 3．设⊙O的半径OA为x米，请用代数式表示线段OD的长. 提示：OD可表示为(7-x)米. 4．应用垂径定理计算的关键是寻找以弦的一半、半径和弦到 圆心的垂线段为边的直角三角形.利用勾股定理列方程求解， 请你找出此直角三角形，并求解. 提示：此直角三角形是Rt△AOD.在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2， 即x2=(7-x)2+52，解得 【总结提升】垂径定理基本图形的四变量、两关系 1.四变量：如图，弦长a，圆心到弦的距离d,半径r,弧的中点 到弦的距离(弓形高)h,这四个变量知任意两个可求其他两个. 2.两关系： 题组一：垂径定理 1.(2013·广安中考)如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足 为点C，若AB=8 cm，CD=3 cm，则圆O的半径为( ) 【解析】