专题一　微专题10　同构函数问题课件——2024届高三数学二轮微专题复习

专题一　函数与导数 微专题10 同构函数问题 从最近几年的高考可以看出，新高考注重数学素养的考查，尤其是创新思维.这种问题在高考题中频繁出现，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力和代数式的变形能力的要求也是比较高的.有时候在高考试题、模拟试题、压轴题中只要大胆尝试，把握其中的规律，解决这类问题堪称秒杀！难度一般较大. 考情分析 2 思维导图 3 内容索引 典型例题 热点突破 4 典例1　(1)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则 A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2 √ 考点一　同构函数比较大小 PART ONE 典型例题 由指数和对数的运算性质可得 2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b. 令f(x)＝2x＋log2x， 则f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b， ∴2a＋log2a<22b＋log22b， 即f(a)<f(2b)，∴a<2b. (2)若0<x1<x2<1，则 A. >ln x2－ln x1 B. <ln x2－ln x1 C. D. √ 因此在区间(0,1)上存在唯一的x0，使得f′(x0)＝0， 所以当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(x0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 故A，B错误； 当0<x<1时，g′(x)<0， 所以g(x)在区间(0,1)上单调递减， 因为0<x1<x2<1，所以 ， 即 ， 故C正确，D错误. 跟踪训练1　(1)已知α，β∈R，则“α＋β>0”是“α＋β>cos α－cos β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 构造函数f(x)＝x－cos x， 则f′(x)＝1＋sin x≥0在R上恒成立， 所以函数f(x)＝x－cos x是增函数， 因为α＋β>0，所以α>－β，所以f(α)>f(－β)， 即α－cos α>－β－cos(－β)，即α－cos α>－β－cos β， 所以α＋β>cos α－cos β， 即“α＋β>0”能推出“α＋β>cos α－cos β”； 根据α＋β>cos α－cos β， 可得α－cos α>－β－cos β，即α－cos α>－β－cos(－β)， 所以f(α)>f(－β)，所以α>－β，即α＋β>0， 所以“α＋β>cos α－cos β”能推出“α＋β>0”， 所以“α＋β>0”是“α＋β>cos α－cos β”的充要条件. (2)(2023·郑州模拟)若ln b＋b＝aln a＋a2，则下列式子可能成立的是 A.a>b>1 B.a>1>b C.b>1>a D.1>b>a √ 当a>b时，aln a＋a2＝ln b＋b<a＋ln a，即(a－1)(ln a＋a)<0， 若a≥1，则ln a＋a>0，且a－1≥0， 则(a－1)(ln a＋a)≥0， 不满足(a－1)(ln a＋a)<0，故a<1，且f(a)>0，所以x0<a<1， 又因为a>b，所以1>a>b； 当a<b时，aln a＋a2＝ln b＋b>a＋ln a，即(a－1)(ln a＋a)>0， 若a>1，则a－1>0，ln a＋a>0，则(a－1)(ln a＋a)>0成立，故b>a>1； 若a<1，则a－1<0，则ln a＋a<0， 因为f(x0)＝0，且f(x)＝x＋ln x是增函数， 所以当0<a<x0时，ln a＋a<0，则aln a＋a2<0， 所以ln b＋b<0，所以b<1，又因为a<b，所以1>b>a， 若a＝1，显然不成立. 故A，B，C错误，D正确. 典例2　 (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； 考点二　通过同构函数解决零点问题 由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞). 可得函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(1)＝e＋1－a. 又f(x)≥0， 所以e＋1－a≥0，解得a≤e＋1， 所以a的取值范围为(－∞，e＋1]. (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1. 方法一　不妨设x1<x2， 令g(x)＝ex＋x－ －1(x>0)， 则g′(x)＝ex＋1－ ＝ex＋1＋ (x>0)， 所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0， 所以当x∈(0,1)时，g(x)<g(1)＝0， 所以当x∈(0,1)时，F′(x)>0， 所以F(x)在(0,1)上