专题一　微专题4　导数的几何意义及函数的单调性课件——2024届高三数学二轮微专题复习

专题一　函数与导数 微专题4 导数的几何意义及函数的单调性 1.此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考查导数的计算、几何意义，难度较小. 2.应用导数研究函数的单调性多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题. 考情分析 2 思维导图 3 内容索引 典型例题 热点突破 4 典例1　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________________. 考点一　导数的几何意义与计算 (－∞，－4)∪(0，＋∞) PART ONE 典型例题 因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为 ，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝ ＝ ＝ ， (2)(2023·上海模拟)若直线l与曲线C1：y＝ex＋1、曲线C2：y＝3＋ln x都相切，则直线l的方程为__________________. y＝ex＋1或y＝x＋2 由y＝ex＋1得y′＝ex， 设切点为 ， 所以切线的斜率为 ， 则直线l的方程为y－( ＋1)＝ (x－x1)， 即y＝ ； 设切点为(x2,3＋ln x2)， 消去x2得(x1－1)( －1)＝0， 故x1＝1或x1＝0， 所以直线l的方程为y＝ex＋1或y＝x＋2. 跟踪训练1　(1)(2023·常德模拟)已知l为曲线y＝ 在(1，a)处的切线， 当直线l与坐标轴围成的三角形面积为 时，实数a的值为_____. 所以切线l的方程为y－a＝(1－a)(x－1)， (2)(2023·厦门模拟)已知函数f(x)＝mx＋ln x，g(x)＝x2－mx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)存在公切线，则实数m的最大值为___. 假设两曲线在同一点(x0，y0)处相切， 因为函数y＝x2＋ln x－1单调递增，且当x＝1时，y＝0， 根据曲线的变化趋势，若m继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线， 典例2　(2023·洛阳模拟)已知函数f(x)＝ax2＋(2－a)x－ln x(a∈R). (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 考点二　利用导数研究函数的单调性 由a＝2，得f(x)＝2x2－ln x，f(1)＝2，切点为(1,2)， 则切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0. (2)讨论函数y＝f(x)的单调性. f(x)＝ax2＋(2－a)x－ln x，定义域为(0，＋∞)， f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间. 当a＝－2时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 跟踪训练2　 (1)当a＝1时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 所以切线的斜率k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0， 所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. (2)讨论函数f(x)的单调性； f(x)的定义域是(0，＋∞)， 令g(x)＝x2－ax＋1，则Δ＝a2－4. ①当a≤0或Δ≤0，即a≤2时，f′(x)≥0恒成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 综上所述，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 典例3　(1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为 A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 考点三　单调性的简单应用 √ 设g(x)＝xex，x∈(1,2)， 所以g′(x)＝(x＋1)ex>0， 所以g(x)在(1,2)上单调递增， (2)(2023·泸州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋(x－1)ex，则不等式f(3x－2)<f(x2)的解集为 A.(－∞，1)∪(2，＋∞) B.(0,1)∪(2，＋∞) D.(1,2) √ 函数f(x)＝ln x＋(x－1)ex的定义域为(0，＋∞)， 所以函数f(x)是增函数， 跟踪训练3　(1)(2023·玉林模拟)设函数f(x)＝ex－ －2x，若f(a－3)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是 √ 又因为f(－x)＝e－x－ex＋2x＝－f(x)，所以f(x) 为奇函数，原式等价于 f(a－3)≤－f(2a2)⇔f(a－3)≤f(－2a2)⇔a－3≤－2a2⇔2a2＋a－3≤0⇔(2a＋3)(a－1)≤0， 易知当x∈(0,1)时，f′(x)<0；