专题一　微专题3　函数的零点问题课件——2024届高三数学二轮微专题复习

专题一　函数与导数 微专题3 函数的零点问题 本专题考查求函数零点、零点个数的判断以及零点所在区间、求参数取值范围等方面.常以选择题、填空题的形式出现，难度中等，有时难度较大. 考情分析 2 思维导图 3 内容索引 典型例题 热点突破 4 典例1　(2023·扬州模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2 －x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cos πx|－f(x)在区间 上 零点的个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 考点一　函数零点个数的判断 PART ONE 典型例题 由f(－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称，由f(x)＝f(2－x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称， 令g(x)＝|cos πx|－f(x)＝0，得|cos πx|＝f(x)， 函数y＝|cos πx|是周期为1的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3， 跟踪训练1　(2023·杭州模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝f(x)－lg x的零点个数为 A.6 B.7 C.8 D.9 √ 由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以2为周期的函数. 又函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1， 根据已知，作出函数y＝f(x)的图象，以及y＝lg x的图象， 因为lg 10＝1，所以lg 8<lg 9<1， 由图象可知，y＝f(x)与y＝lg x的 交点共有9个， 所以函数g(x)＝f(x)－lg x的零点个数为9. 典例2　(2023·昆明模拟)已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1]时， f(x)＝x2.函数g(x)＝ (a>0且a≠1)，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在 区间[－17,5]上恰有20个零点，则实数a的取值范围为______. 考点二　根据函数零点个数求参数取值范围 (2,4) 因为函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－17,5]上恰有20个零点， 则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间[－17,5]上有20个交点， 由f(x＋2)＝f(x)，知f(x)是周期为2的函数， 作出函数f(x)与函数g(x)的部分图象如图所示. 易知当x∈[－17,1]时，函数f(x)的 图象与函数g(x)的图象有17个交点， 故在(1,5]上有3个交点， 显然0<a<1不满足题意， 跟踪训练2　(2023·银川模拟)已知函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且f(x)是偶函数，当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－logax有2个零点，则实数a的取值范围是__________. [3，＋∞) 当x∈(0,1]时，－x∈[－1,0)，f(x)＝f(－x)＝(－x)2＝x2； 故x∈[－1,1]时，f(x)＝x2， 当x∈(1,3]时，x－2∈(－1,1]，即f(x)＝f(x－2)＝ (x－2)2. g(x)＝f(x)－logax＝0，即f(x)＝logax，f(3)＝1， 画出函数图象，如图所示. 当0<a<1时，y＝f(x)与y＝logax的图象最多有一个交点，不满足题意； 当a>1时，要使y＝f(x)与y＝logax的图象在[－1,3]内有两个交点，则loga3≤1，即loga3≤logaa，a≥3. 综上所述，实数a的取值范围是[3，＋∞). 典例3　已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一 个实数根，则实数a的取值范围是 A.(－∞，0) B.(－∞，0)∪(0,1) C.(0,1) D.(0,1)∪(1，＋∞) 考点三　嵌套函数的零点 √ 令u＝f(x)，则f(u)＝0. ①当a＝0时，若u≤0，f(u)＝0； 若u>0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1. 所以由f(f(x))＝0可得f(x)≤0或f(x)＝1. 如图所示， 满足f(x)≤0的x有无数个，方程f(x)＝1只有一个解，不满足题意； ②当a≠0时，若u≤0，则f(u)＝a·2u≠0；若u>0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1. 所以由f(f(x))＝0可得f(x)＝1， 当x>0时，由f(x)＝log2x＝1，可得x＝2， 因为关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个