专题一 微专题4　导数的几何意义及函数的单调性 讲义——2024届高三数学二轮专题复习

微专题4　导数的几何意义及函数的单调性 [考情分析]　1.此部分内容是高考命题的热点内容．在选择题、填空题中多考查导数的计算、几何意义，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 典例1　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． (2)(2023·上海模拟)若直线l与曲线C1：y＝ex＋1、曲线C2：y＝3＋ln x都相切，则直线l的方程为________． 典例2　(2023·洛阳模拟)已知函数f(x)＝ax2＋(2－a)x－ln x(a∈R)． (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ (2)讨论函数y＝f(x)的单调性． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 典例3　(1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 (2)(2023·泸州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋(x－1)ex，则不等式f(3x－2)<f(x2)的解集为(　　) A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(0,1)∪(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D．(1,2) [总结提升] 1．两曲线的公切线问题 解决两曲线的公切线问题的基本思路是：分别设出两曲线的切点坐标，然后求导得到切线的斜率，则求得两条切线方程，接着让两切线方程的斜率和截距分别相等，得到两个关于切点坐标的方程组，再加以研究． 2．由单调性求参数范围 (1)若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立． (2)若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，则f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集． (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集． 1．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 2．(2023·乐山模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax2－x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 3．若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋ C．y＝x＋1 D．y＝x＋ 4．(2023·茂名模拟)已知a＝6－ln 2－ln 3，b＝e－ln 3，c＝e2－2，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b 5．(多选)设f′(x)是函数f(x)的导数，若f′(x)>0，且∀x1，x2∈R(x1≠x2)，f(x1)＋f(x2)<2f ，则下列各选项正确的是(　　) A．f(2)<f(e)<f(π) B．f′(π)<f′