8.6.1直线与直线垂直课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课前复习 ‹#› 直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条和这个直线平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 平面与平面平行的判定定理 一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 平面与平面平行性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行. 空间中点、线、面位置的关系 线与线 线与面 面与面 相交（） 平行（） 异面直线 线面平行 线在面内（） 线在面外（） 线面相交 相交 平行 共面直线 .. 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直 观察：如图，在正方体中，直线与直线，直线与直线都是异面直线，直线与相对于直线的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ 对于两条相交直线形成4个角，其中)的角称为这两条相交直线所成的角（或夹角）. 【思考】、与直线均为异面直线，但他们相对于的倾斜程度是不一致，那这个斜程度是否也能用一个角来度量呢？ 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线a、b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b b ′ a′ O 思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? a ″ 空间角 平面角 转化 度量 如果两条异面直线a、b所成的角为直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直,记为a⊥b 异面直线所成的角的范围(0°, 90°] 当两条直线a、b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°，所以空间两条直线所成角的取值范围是0°≤α≤90° 【例1】如图，已知正方体. （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ 线线垂直 异面垂直 相交垂直 【解】（1），，，分别与垂直 ，分别与，，，平行 也分别与垂直 即：棱所在直线与垂直 【思考】 （3）确定那个角？ （4）如何计算？ （2）如何平移？ （1）取哪一点？ 【例1】如图，已知正方体. （2）求直线与所成的角的大小. 【解】（2） 是正方体 为直线与所成的角 异面直线与所成的角等于 【思考】 （3）确定那个角？ （4）如何计算？ （2）如何平移？ （1）取哪一点？ 【例1】如图，已知正方体. （3）求直线与所成的角的大小. 【解】（3）连结 是正方体 且 四边形是平行四边形 则 为异面直线与所成的角 连接 是等边三角形 异面直线与所成的角等于 选点 平移 定角 计算 已知或证明 根据异面直线所成角的范围 放入三角形 【小结】求异面直线所成角的步骤： 【例2】如图，在正方体中，为底面的中心，求证. 【分析】要证 构造直线与所成的角 异面直线与所成角为直角 【证明】连结 是正方体 且 是平行四边形， 则 直线与所成角即为与所成角 连接和，易证 又是底面的中心 是的中点 ，即. 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“x” (1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直. （ ） (2)垂直于同一条直线的两条直线平行. （ ） 148页练习 2.如图，在长方体ABCD-A'B’C'D'的各条棱所在直线中, (1)与直线AB垂直的直线有 条; (2)与直线AB异面且垂直的直线有 条; (3)与直线AB和A‘D’都垂直的直线有 条; (4)与直线AB和A‘D’都垂直且相交的直线是直线 . 3.如图，在长方体ABCD-A'BCD'中，AB=AD=2，AA’=2，求:(1)直线 BC和A'C'所成的角的大小; (2)直线AA'和 BC'所成的角的大小. 4.如图，在正三棱柱ABC-A‘B’C‘中，D为棱AC的中点，AB=BB’=2，求证 BD ⊥AC'. $$