1.2 空间向量基本定理 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019） 选择性必修第一册

1. 2 空间向量基本定理 知识回顾 重温基础 问题1：平面向量基本定理内容是什么？ 提示：如果e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1， λ2，使得a=λ1e1+ λ2e2，{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.任一向量都可以由同一个基底唯一表示. 问题2：已知直角坐标平面内的两个向量a=(1,3),b=(m,2m－3),使得 平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb,则m的取值 范围是___________.  解析:要使c=λa+μb成立,则只需a与b不共线,即只需满足即3m≠2m－3,故m≠－3. m≠－3 创设情境 问题引入 1.平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线向量来线性表示，那么， 空间任一向量能用三个不共线的向量来线性表示吗？ 平面向量 p=λ1a+ λ2b 空间向量 p=? 2.我们所在的教室是一个立体图形,即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为坐标原点,沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量. 这三个空间向量是不共面的,那么这三个空间向量能否表示空间任意其它向量呢? 创设情境 问题引入 x y z k i j Q P O 定理推导 形成新知 如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk.我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量. 如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O. 对于空间任意一个向量p=，设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，由平面基本定理可知，在，k所确定的平面上，存在实数z，使得= +zk，而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序数对(x,y)，使得=xi+yj.从而= +zk=xi+yj+zk. 探究： 在空间中，任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量 i, j, k，你能得出类似的结论吗? ． O A P’ A’ C B B’ P 证明:（1）先证存在性 过点P作直线PP’∥OC，交平面OAB于点P’； 在平面OAB内，过点P’作直线P’A’∥OB，P’B’∥OA，分别交直线OA，OB于点A’，B’. 存在实数则(x,y,z),使 C’ 设a，b，c是三个不共面的向量，过空间一点O作 7 (2)再证唯一性 用反证法 假设存在实数组 , 使 所以 即 因为 从而a，b，c 共面, 这与a，b，c 不共面矛盾, 所以有序实数组(x,y,z)唯一. 所以 8 1.如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.其中,空间中不共面的三个向量a,b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向量的一组基底.a,b,c都叫做基向量 2.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 3.如果空间一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做正交基底，常用 { i, j, k }表示.对空间任一个向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 空间向量基本定理 【小试身手】 答案：c 答案：共线 答案：共面 温馨提示 1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同. 2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念. 3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量. 举例应用 巩固新知 例1(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C　 点拨：判断基底的基本思路及方法 (1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底. (2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底. ②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. 点拨：用基底表示空间向量的解题策略 1.空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示