2024年中考数学一轮复习基础知识过关课件 第13讲　二次函数的应用

第13讲　二次函数的应用 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的　 　坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根  当b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有一个交点,方程ax2+bx+c=0有 　 　的实数根  当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个不同的交点,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根 当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0无实数根 两个相等 横 二次函数与不等式 不等式ax2+bx+c>0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应点的横坐标的取值范围 不等式ax2+bx+c<0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应点的横坐标的取值范围 二次函数的实际应用 1.最值问题 在日常生活中,经常遇到求某种图形的最大面积、获取最大经济利润、怎样最节省开支等问题,利用二次函数的图象和性质,便可以解决这类问题,需要把这类问题转化为求二次函数的最值问题.解决该类问题的一般步骤如下: (1)找:找出题目中的等量关系; (2)列:列出二次函数解析式; (3)求:利用配方法将解析式化为顶点式或利用公式法确定最值. 2.抛物线形问题 在实际生活中常遇到以下抛物线形问题:拱形桥洞、涵洞、隧道、拱形门、球类的运动路线、跳水运动员的跳水路线等,对此类问题要正确地建立模型,选择合理的位置建立平面直角坐标系,用待定系数法确定函数的解析式,进而解决问题. 二次函数与方程、不等式的关系(易错点) [例1] (2021乐山)已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围; (1)根据根的判别式列出不等式求解; (2)二次函数y=x2+x-m的部分图象如图所示,求一元二次方程 x2+x-m=0的解. (2)根据抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称,求出抛物线与x轴的另一个交点坐标,即得方程的解. [变式1] 直线y1=x+1与抛物线y2=-x2+3如图所示,当 y1>y2时,x的取值范围为( ) A.x<-2 B.x>1 C.-2<x<1 D.x<-2或x>1 D 应用二次函数解决实际问题中的最大(小)值问题 [例2] (2023高坪区一模)某商店出售一款成本价为每件40元的商品,据市场调查反映,该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间满 足一次函数关系,其部分对应数据如下表: 销售单价x∕(元/件) 50 65 日销售量y∕件 300 150 (1)求y关于x的函数关系式. (2)每件商品售价多少元时才能使每天的销售利润最大?最大销售利润是多少元? 解:(2)设每天销售利润为W元,则 W=(x-40)(-10x+800)=-10(x-60)2+4 000, ∵-10<0, ∴当x=60时,W最大=4 000. 故每件商品售价60元时才能使每天的销售利润最大,最大销售利润是 4 000元. (3)若该商店每天需要支付房租等其他费用共600元,为保证支付后剩余的利润每天不低于3 150元,请求该商品销售单价x的取值范围[备 注:销售利润=(销售单价-成本单价)×销售量]. 解:(3)设除去支出后每天的利润为W′元,则W′=-10(x-60)2+4 000-600=-10(x-60)2+3 400, 当W′=3 150时,有-10(x-60)2+3 400=3 150,整理得(x-60)2=25, 解得x1=55,x2=65,∵-10<0, 对称轴为x=60, ∴当55≤x≤65时,W′不低于3 150元. 故为保证除去支出后每天的利润不低于3 150元,销售单价不低于 55元,不超过65元. 应用二次函数模型解决实际问题的步骤 (1)根据题意确定二次函数的关系式; (2)根据已知条件确定自变量的取值范围; (3)利用二次函数的性质和自变量的取值范围确定最大(小)值,注意二次函数的最大值不一定是实际问题的最大值,要结合自变量的取值范围确定最值. [变式2] (2023郫都区二模)某超市进了一批成本为8元/个的文具盒,调查发现:这种文具盒每个星期的销售量y(个)与它的定价x(元/个)的关系如图所示. (1)求这种文具盒每个星期的销售量y(个)与它的定价x(元/个)之间的函数关系式. (2)若该超市每星期销售这种文具盒的销售量不少于125个,且单件利润不低于3元,当每个文具盒定价多少元时,超市每星期利润最高?最高利润是多少? 解:(2)设每星期所获利润为W元,由题意,得 W=(x-8)·y =(x-8)(-10x+300) =-10x2+380x-2 400 =