1.1.1 空间向量及其线性运算(第1课时) 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019） 选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其线性运算 第1课时 空间向量的概念及加法、 减法、数乘运算 滑翔运动员在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平面内.联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始. 一、情境引入 问题1：类比平面向量的概念，你能给出空间向量的有关概念吗？ （1）空间向量的定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量. （2）空间向量的模（长度）：向量的大小叫做向量的长度或模． （3）空间向量及其模的表示方法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模． 二、新知探究 （4）特殊向量 二、新知探究 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫零向量，记为0. 单位向量 模为1的向量叫单位向量. 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量记为－a. 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 解：两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确； 若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确； ④显然正确；空间中任意两个单位向量的模必相等，但这两个向量不一定相等，故⑤错误． C 【小试牛刀】 二、新知探究 问题2：下面给出了两个空间向量a、b，如何作出b＋a，b－a? 二、新知探究 （2）空间向量加法交换律：a＋b＝b+a 空间向量加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) （1）类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算. 二、新知探究 问题3：实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？ 提示：λ＞0时，λa和a方向相同； λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍. 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： ①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb， ②结合律：λ(μa)＝(λμ)a. 二、新知探究 空间向量的数乘： 实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算． （1）当λ≠0或a≠0时，λa的模是|λ||a|，且有①当λ>0时，λa与向量a方向相同； ②当λ<0时，λa与向量a方向相反； （2）当λ=0或a=0时，λa=0. （3）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律： 分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb， 结合律：λ(μa)＝(λμ)a. 二、新知探究 A B C D C' D' A' B' 例1.如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量. 　　（1） （2） 解：（1） 　　（2） 三、举例应用 例2：如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式． （1） （2） （3） （4） 解：（1） （2） （3） （4） 三、举例应用 三、举例应用 点拨： 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，可从以下角度入手： （1）要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来. （2）把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系. （3）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘. 四、归纳小结 空间向量 空间向量的线性运算 加减数乘运算 运算律 空间向量的概念 课本P9 习题1.1 第1题、第2题 五、布置作业 提示：　如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a. $$