7.5解直角三角形课件新 2023—2024学年苏科版数学九年级下册

7.5 解直角三角形 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 解直角三角形 “化斜为直法”解非直角三角形 知识点 解直角三角形 知1－讲 1 1. 定义 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形. 知1－讲 (1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). (2)一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积. 知1－讲 2. 直角三角形中的边角关系 (1)如图7.5-1，在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，那么除直角∠C外的5个元素之间有如下关系： ①三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)； ②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； ③ 边、角之间的关系：sin A＝，sin B＝；cos A＝，cos B＝；tan A＝，tan B＝. 知1－讲 (2)运用关系式解直角三角形时，常常要用到以下变形：①两锐角之间的关系：∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A；②三边之间的关系：a＝，b＝，c＝；③边、角之间的关系：a＝c·sin A，a＝c·cos B，a＝b·tan A，b＝c·sin B，b＝c·cos A，b＝a·tan B. 知1－讲 (3)解直角三角形的常见类型 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c 已知条件 解法步骤 两边 斜边和一直角边 如a、c ①由sin A＝，求∠A；②∠B＝90° －∠A；③ b＝ 两直角边 a、b ①由tan A＝，求∠A；②∠B＝90°－∠A；③ c＝ 知1－讲 续表 已知条件 解法步骤 一锐 角一 边 一锐角和 斜边 如∠A、c ①∠B＝90°－∠A； ② a＝c•sin A；③ b＝c•cos A 一锐角和 对边 如∠A、a ①∠B＝90°－∠A；② b＝； ③ c＝ 一锐角和 邻直角边 如∠A、b ①∠B＝90°－∠A； ② a＝b•tan A；③ c＝ 知1－讲 深度理解 已知两个锐角不能解直角三角形，因为只有角的条件，三角形边的大小不唯一，即有无数个三角形符合条件. 已知一角一边时，角必须为锐角，若已知直角，则不能求解. 解直角三角形时，求某些未知量的方法往往不唯一. 知1－讲 解题通法 解直角三角形的基本方法： 1. 有斜(斜边) 用弦(正弦、余弦). 当已知或求解中有斜边时，就优先考虑用正弦或余弦； 2. 无斜用切(正切). 无斜边时，就用正切； 3. 宁乘勿除. 当所求的元素既可以用乘法又可以用除法求解时，则选用乘法； 4. 取原避中. 当既可以用原始数据又可以用中间数据求解时，则用原始数据. 知1－练 例 1 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c. 根据下列条件解直角三角形． 解题秘方：紧扣“直角三角形的边角关系”，选择合适的关系式求解. 知1－练 (1)[期末·张家港] ∠A＝60°，c＝4； 解：如图7.5-2，∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°； 由sin B＝，得b＝c· sin B＝ 4×sin 30°＝2； 由sin A＝，得a＝c·sin A＝ 4×sin 60°＝6． 知1－练 (2)[期末·盐城] ∠A－∠B＝30°，a－b＝2－2． 解：如图7.5-3，根据题意，得 解得由tan A＝， 得a＝b·tan A＝b·tan 60°＝b. 根据题意，得解得 由sin B＝，得c＝＝＝4． 知1－练 方法提醒 解直角三角形的一般策略： 1. 画出草图， 在图中标明已知数据，确定未知元素； 2. 分清类型，确定方法. 如题(1)中， 属于一边一角，利用两角关系、正弦即可求解； 3. 理清边长与角的对应关系，学会利用参数构建方程(组) 解决问题. 题(2)中，已知两角及两边的数量关系，利用两角关系构建方程组求出∠A， ∠B， 利用边角关系得到a＝b， 构建方程组求出a，b，即可解决问题. 知2－讲 知识点 “化斜为直法”解非直角三角形 2 1. 解题方法 对于出现非直角三角形的问题，可以通过添加辅助线，将其转化为直角三角形来解. 知2－讲 2. 常见类型 类型 添加辅助线 图例 无直角的三角形 作高线 有直角但无三角形的多边形 延长某些边 无直角的多边形 构造直角三角形 知2－讲 特别解读 解斜三角形的关键是运用“化斜为直法”的数学思想方法，即添加适当的辅助线，将斜三角形转化为直角三角形，运用解直角三角形的知识求解. 知2－练 [模