1.5 向量的数量积（2课时）课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

1.5.1 数量积的定义及计算 第1章 平面向量及其应用 高中数学湘教版必修第二册 1.5 向量的数量积 课标阐释 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.(数学抽象、数学运算) 2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(数学运算、直观想象) 3.掌握平面向量数量积的运算律.(数学运算) 4.会求向量的模、夹角,能运用数量积解决向量的垂直问题.(数学运算) 思维脉络 【激趣诱思】 在物理学中,我们知道,一个物体受到力的作用,如果在力的方向上发生一段位移,我们就说这个力对物体做了功.如果力的方向和物体运动的方向相同,功就等于力的大小和位移大小的乘积.而当力的方向与物体运动的方向成 角时,其与位移方向平行的分力F1满足|F1|=|F|cos ,物体在F1的方向上产生了位移s,因此F对物体做的功W=|F||s|cos .在这个公式中,当 为锐角时,W>0,称力对物体做了正功;当 为钝角时,W<0,称力对物体做了负功.也就是说W是一个数量,我们称W为F与s的数量积.本节我们从物体的受力做功入手,学习两个向量的数量积. 【知识点拨】 知识点一:数量积的定义 1.数量积定义:设a,b是任意两个向量,<a,b>是它们的夹角,则定义a b=|a||b|cos<a,b>为a与b的数量积. 2.两个向量的垂直关系 由平面向量夹角的定义可知,<a,b>= 的取值范围为[0, ].由数量积定义可知: a b=0 |a|=0或|b|=0或cos =0. (1)当a,b均不为0时,a b=0 cos =0 = a⊥b. (2)当a=0或b=0时,由于零向量与任意向量垂直,因而仍有a⊥b. 因此,a b=0 a⊥b对所有情形均成立. a b=0为a⊥b的充要条件 要点笔记 两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、向量数乘的乘法有着本质的区别,书写时一定要注意用a b表示,不能用a b或ab表示. 微思考 两个向量的数量积结果是向量还是数量? 提示 是数量. 微练习 答案 (1)-2 (2)8 知识点二:投影 1.投影向量与投影长 2.投影与数量积的关系 (2)一般地,a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos 的乘积. 要点笔记 1.投影向量可类比物理上力做功问题中力在位移方向上的分力; 2.由投影与数量积的关系可得b在a方向上的投影|b|cos 的公式: 微练习 (2)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120 ,则向量a在向量b上的投影为 . (3)若a b=-6,|a|=8,则向量b在向量a上的投影为 . 知识点三:平面向量数量积的运算律 交换律 a b=b a 与数乘的结合律 a ( b)= (a b) 分配律 a (b+c)=a b+a c 名师点析 1.向量数量积的运算不适合约分,即a b=a c b=c. 2.向量数量积运算也不适合结合律,即(a b) c不一定等于a (b c),这是由于(a b) c表示一个与c共线的向量,而a (b c)表示一个与a共线的向量. 微练习 答案 A 探究一 求平面向量的数量积 角度1 数量积的简单计算 例1已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120 ,求: (1)a b;(2)a2-b2;(3)(2a-b) (a+3b). 分析依据向量的数量积、模、夹角的定义逐一进行计算即可. (2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5. (3)(2a-b) (a+3b)=2a2+5a b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos 120 -3|b|2=8-15-27=-34. 要点笔记 求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. 角度2 几何图形中向量数量积的计算 答案 -1 解析 ∵AD∥BC,且∠DAB=30 , ∴∠ABE=30 . ∵EA=EB,∴∠EAB=30 ,∴∠AEB=120 . 在 AEB中,EA=EB=2, 反思感悟 平面向量的数量积在平面几何中的应用 (1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量. 探究二 求向量的投影 要点笔记 向量的投影的求解策略 求向量的投影要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影,在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.确定两向量的夹角时,一定要注意“共起点”. 答案 A 探究三 利用数量积解决向量的夹角与垂直问题 例4(1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,则a与