4.3.2 空间中直线与平面的位置关系课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1课时 直线与平面平行 第4章 立体几何初步 高中数学湘教版必修第二册 4.3直线与直线、直线与平面的位置关系 4.3.2 空间中直线与平面的位置关系 课标阐释 1.了解直线与平面之间的位置关系,并能判断这些位置关系.(直观想象) 2.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中线面平行的相关定理和性质.(数学抽象) 3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的相关平行性问题.(逻辑推理) 思维脉络 【激趣诱思】 如图是一扇打开的门,门在转动的过程中,门的竖直边缘所在的直线与墙面的位置关系是怎样的?由此思考:怎样才能证明直线与平面平行呢? 【知识点拨】 知识点一:空间直线与平面的位置关系 微思考 (1)观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系? (2)直线a与平面 满足a∩ ≠ ,则直线a与平面 的位置关系包括哪些情况? 提示 (1)直线A1B在平面ABB1A1内,与平面CDD1C1平行,与其余四个面相交. (2)直线在平面内、直线与平面相交. 知识点二:直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 图形语言 符号语言 若 a⊄ ,b⊂ ,a∥b,则a∥ 作用 证明直线与平面平行 名师点析 1.线面平行的判定定理包含三个条件:(1)平面外一条直线;(2)平面内一条直线;(3)两条直线平行.这三个条件缺一不可. 2.定理充分体现了等价转化思想,它将线面平行问题转化为线线平行问题,即线线平行 线面平行. 微思考 (1)直线在平面外,是否说明直线与平面一定平行? (2)如果直线a与平面 内的一条直线b平行,直线a与平面 一定平行吗? 提示 (1)不一定,也可能直线与平面相交. (2)不一定,直线a可能在平面 内. 知识点三:直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行 图形语言 符号语言 若a∥ ,a⊂ , ∩ =b,则a∥b 作用 证明两条直线平行 要点笔记 1.线面平行的性质定理包含三个条件:(1)a∥ ;(2)a⊂ ;(3) ∩ =b.这三个条件缺一不可. 2.当a∥ 时,过a的任何平面与 的交线都与a平行,即a可以和 内的无数条直线平行,但不是任意的. 微思考 (1)如果直线和平面平行,那么这条直线与这个平面内的直线的位置关系是怎样的? (2)若直线a与平面 平行,则在平面 内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何? 提示 (1)平行或者异面. (2)在平面 内与直线a平行的直线有无数条,这些直线互相平行. 探究一 直线与平面平行的判定 例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B. 分析(方法1)作ME∥BC,交BB1于点E,作NF∥AD,交AB于点F,连接EF,转化为证明MN∥EF. (方法2)连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P,转化为证明MN∥B1P. 证明 (方法1)如图①,作ME∥BC,交BB1于点E,作NF∥AD,交AB于点F,连接EF,则EF⊂平面AA1B1B, ∴ME=NF.又ME∥BC∥AD∥NF, ∴四边形MEFN为平行四边形.∴MN∥EF. ∵MN⊄平面AA1B1B,EF⊂平面AA1B1B, ∴MN∥平面AA1B1B. ① (方法2)如图②,连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P,则B1P⊂平面AA1B1B. ∵ NDC∽ NBP, ∵MN⊄平面AA1B1B,B1P⊂平面AA1B1B, ∴MN∥平面AA1B1B. ② 反思感悟 证明线面平行的思路及步骤 证明直线与平面平行,可以用定义,也可以用判定定理,但说明直线与平面没有公共点不是很容易(当然也可用反证法),所以更多的是用判定定理,用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下: 变式训练1如图,P是 ABCD所在平面外一点,E,F分别为AB,PD的中点,求证:AF∥平面PEC. 证明 设PC的中点为G,连接EG,FG.∵F为PD的中点, ∴GF∥CD,且GF= CD. ∵AB∥CD,AB=CD,E为AB的中点,∴GF∥AE,GF=AE, ∴四边形AEGF为平行四边形,∴EG∥AF. 又AF⊄平面PEC,EG⊂平面PEC, ∴AF∥平面PEC. 探究二 直线与平面平行性质定理的应用 例2如图,已知AB与CD是异面直线,且AB∥平面 ,CD∥平面 ,AC∩ =E,AD∩ =F,BD∩ =G,BC∩ =H.求证:四边形EFGH是平行四边形. 分析要证四边形EFGH是平行四边形,首先要证明四边形的对边平行,由于已知条件中含AB∥平面 ,CD∥平面 ,