4.3.2 第3课时 距离及直线与平面所成的角 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

4.3.2 第3课时 距离及直线与平面所成的角 [课时跟踪检测] 1.如图，在三棱锥P⁃ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是 (　　) A.∠BPA B.∠PBA C.∠PBC D.以上都不对 解析：选B　由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC=B， 得PA⊥平面ABC，所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角. 2.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°<θ<90° B.直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90° C.若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行 D.若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等 解析：选AD　B中应为0°≤θ≤90°;C中这两条直线可能平行，也可能相交或异面. 3.在正三棱柱(侧棱与底面垂直，底面为正三角形的三棱柱)ABC⁃A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析：选A　如图，取C1A1，CA的中点E，F，连接B1E，BF，EF， 则B1E⊥平面CAA1C1，过D作DH∥B1E，则DH⊥平面CAA1C1， 连接AH，则∠DAH即为所求的线面角.DH=B1E=，DA=. 所以sin∠DAH==. 4.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是 (　　) A. B.2 C.3 D.4 解析：选D　如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD. ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又PA∩PD=P， ∴BC⊥平面PAD， ∴AD⊥BC. 在△ACD中，AC=5，CD=3， ∴AD=4.在Rt△PAD中，PA=8，AD=4， ∴PD==4. 5.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中P，Q分别是BC1和CD1的中点，则下列判断错误的是 (　　) A.PQ⊥CC1 B.PQ⊥平面A1ACC1 C.PQ∥BD D.PQ∥平面ABD1 解析：选D　取CC1的中点E，连接PE，QE，∵P，Q分别是BC1和CD1的中点，易得CC1⊥PE，CC1⊥QE.又PE∩QE=E，∴CC1⊥平面PQE.∵PQ⊂平面PQE，∴CC1⊥PQ，故A正确;分别取CD，BC的中点F，G，连接QF，FG，PG，易得PG∥QF且PG=QF，∴四边形PQFG为平行四边形.∴PQ∥FG.又FG∥BD，∴PQ∥BD，故C正确;∵BD⊥AC，∴PQ⊥AC.又PQ⊥CC1，AC∩CC1=C，∴PQ⊥平面A1ACC1，故B正确;平面ABD1即为平面ABC1D1，显然PQ∩平面ABC1D1=P，故D错误.故选D. 6.(2024·北京高考)如图，在四棱锥P⁃ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=2，该棱锥的高为 (　　) A.1 B.2 C. D. 解析：选D　由题意知△PAB为正三角形，因为PC2+PD2=CD2，所以PC⊥PD.如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE=2，PF=2，EF=4，于是PE2+PF2=EF2，所以PE⊥PF.过点P作PG⊥EF，垂足为G，易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF⊂平面PEF，且EF∩PF=F，所以CD⊥平面PEF.又PG⊂平面PEF，所以CD⊥PG.又PG⊥EF，CD，EF⊂平面ABCD，CD∩EF=F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P⁃ABCD的高.由PE·PF=EF·PG，得PG===.故选D. 7.(多选)如图，四棱锥S⁃ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论正确的是 (　　) A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 解析：选ABC　A正确，因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD.因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，因为BD∩SD=D，BD，SD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，因为SB⊂平面SBD，所以AC⊥SB.B正确，因为AB∥CD，CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，所以AB∥平面SCD.C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，如图，由AC⊥平面SBD得SA与平面SBD所成的角为∠ASO，SC与平面SBD所成的角为∠CSO，易知∠ASO=∠CSO，故SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角.D不正确，AB与SC所成的角是∠SCD(或其补角)，而DC与SA所成的角是∠SAB(或其补角)，易知∠SCD≠∠SAB. 8.（5分）如图，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，直线A1B与平面ABCD所成的角是　　　　.  答案：45° 9.（5分）已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则AB的中点P到平面α的距离是　　　　.  解析：若A，B在α同侧，如图①，则P到α的距离为3;若A，B在α异侧，如图②，则P到α的距离为PO'-OO'=3-2=1. 答案：3或1 10.（5分）在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB=4，则MN到平面BCC1B1的距离为　　　　.  解析：连接BC1(图略)，易知MN∥BC1，∵BC1⊂平面BCC1B1，MN⊄平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.∴MN与平面BCC1B1的距离等于N到平面BCC1B1的距离，又N到平面BCC1B1的距离为NB=AB=2，∴MN到平面BCC1B1的距离为2. 答案：2 11.（5分）如图，AB是☉O的直径，PA⊥平面ABC，C为圆周上一点，AB=5 cm，AC=2 cm，则B到平面PAC的距离为　　　　 cm.  解析：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又由AB是☉O的直径，C为圆周上一点，可得AC⊥BC，因为PA∩AC=A，且AC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，所以BC的长为点B到平面PAC的距离.在Rt△ACB中，AB=5 cm，AC=2 cm，可得BC==(cm). 答案： 12.(13分)如图，在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中： (1)求证：A1A∥平面BB1D1D;（5分） (2)若AB=4，AD=3，求A1A到平面BB1D1D的距离.（8分） 解：(1)证明：在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中，AA1∥BB1， 又BB1⊂平面BB1D1D，AA1⊄平面BB1D1D，所以A1A∥平面BB1D1D. (2)由(1)知A1A∥平面BB1D1D， 则直线A1A上任意一点到平面BB1D1D的距离都相等. 如图，过点A作AH⊥BD交BD于H， 易知BB1⊥平面ABCD， 因为AH⊂平面ABCD， 所以BB1⊥AH. 因为BB1∩BD=B， 所以AH⊥平面BB1D1D， 即AH的长为直线A1A到平面BB1D1D的距离. 在△ABD中，AB=4，AD=3，则BD=5. 由等面积法得AH===， 所以A1A到平面BB1D1D的距离为. 13.(15分)如图，在三棱锥O⁃ABC中，∠OAB=∠OAC=60°，AB=AC=AO=a，BC=a，D为BC的中点. (1)求证：OD⊥平面ABC;（7分） (2)求OA与平面ABC所成的角. （8分） 解：(1)证明：连接AD， ∵AB=AC=AO=a，∠OAB=∠OAC=60°， ∴△OAB，△OAC为正三角形. ∴OB=OC=a.∵BC=a， ∴OB2+OC2=BC2，AB2+AC2=BC2. ∴△OBC，△ABC为等腰直角三角形. 则OD⊥BC，AD⊥BC. 且AD=a，OD=a.又OA=a， ∴AD2+OD2=OA2，OD⊥AD. 又AD∩BC=D，∴OD⊥平面ABC. (2)由(1)知，∠OAD为OA与平面ABC所成的角. 在Rt△ODA中，OD=a，OA=a， ∴sin∠OAD==. 又0°≤∠OAD≤90°， ∴∠OAD=45°，即OA与平面ABC所成的角为45°. 14．(15分)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为AC的中点. (1)证明： AB1∥平面BC1D；(5分) (2)证明：BD⊥平面AA1C1C；(5分) (3)若AA1＝AB，求直线BC1与平面AA1C1C所成的角的正弦值．(5分) 解： (1)证明：连接B1C，交BC1于点O，连接OD. 因为四边形BCC1B1为矩形，则O为B1C的中点， 又D为AC的中点，所以OD∥AB1. 又因为OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D， 所以AB1∥平面BC1D. (2)证明：在正三棱柱ABC­A1B1C1中， 因为AA1⊥平面ABC，BD⊂平面ABC， 所以AA1⊥BD. 因为△ABC为等边三角形，D为AC的中点， 所以AC⊥BD. 又因为AA1∩AC＝A，且AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C. (3)由(2)知，BD⊥平面AA1C1C， 所以∠BC1D即为直线BC1与平面AA1C1C所成的角． 设等边△ABC的边长为2，则CC1＝AA1＝AB＝BC＝2，AD＝1，所以△BDC1是直角三角形， 所以在Rt△BDC1中，BD＝，BC1＝2， 所以sin∠BC1D＝＝＝.即直线BC1与平面AA1C1C所成的角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $