专题03平行四边形（考题猜想，5种模型与解题方法）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版）

专题03平行四边形（5种模型与解题方法） 题型一：中点四边形 题型二：正方形中的十字架模型 题型三：四边形中的对角互补模型 题型四：与正方形有关三垂线 题型五：正方形与45°角的基本图 题型一：中点四边形 “中点四边形”，也叫瓦里尼翁平行四边形，是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形，是四边形的内接四边形的一种特殊情况，一般有以下三种形态： （原四边形ABCD依次是：凸四边形，凹四边形，折四边形） （一）中点四边形一定是平行四边形 1. 当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形 2. 当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形 3. 当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形 （二）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和 （三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一 一、单选题 1．（2020·上海徐汇·二模）下列命题中，假命题是（  ） A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形 C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 二、填空题 2．（21-22九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形． 3．（20-21八年级下·山东德州·期末）如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形． 三、解答题 4．（20-21八年级下·河北石家庄·期中）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 5．（20-21八年级下·广西桂林·期末）如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 题型二：正方形中的十字架模型 一、填空题 1．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为 ．    二、解答题 2．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）如图1，求证AE⊥BF； （2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN； 3．（20-21八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG的垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG． （1）当AG=1时，求EG的长； （2）当AG的值等于 时，BE=8－2DF； （3）过G点作GM⊥EG交CD于M   ①求证：GB平分∠AGM；   ②设AG=x，CM=y，试说明的值为定值． 4．（20-21八年级下·云南曲靖·期末）如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接、，点、、、分别是、、、的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，点、分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长． 5．（2024·河南·一模）综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，E，F分别是上的两点，连接交于点P．    已知，求证：． 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．    【迁移探究】 在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P